与えられた2変数多項式 $2x^2 + xy - 3y^2 + 5x + 5y + 2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $2x^2 + xy - 3y^2 + 5x + 5y + 2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$の2次式と見て整理します。

$2x^2 + (y+5)x - (3y^2 - 5y - 2)$

次に、定数項の$-(3y^2 - 5y - 2)$を因数分解します。

$3y^2 - 5y - 2 = (3y+1)(y-2)$

したがって、

$2x^2 + (y+5)x - (3y+1)(y-2)$

$(2x + ay + b)(x + cy + d)$の形になると予想して、展開した式と比較します。

$2x^2 + (a+2c)xy + acy^2 + (b+2d)x + (ad+bc)y + bd$

係数を比較すると、$ac = -3$, $a+2c = 1$, $bd = 2$, $ad+bc = 5$となります。

$a=3$, $c=-1$とすると、$ad+bc = 3d-b = 5$となります。$bd=2$より、$b=1, d=2$または、$b=2, d=1$または、$b=-1, d=-2$または、$b=-2, d=-1$が考えられます。

$b=1, d=2$とすると、$3d-b = 6-1 = 5$となり条件を満たします。

したがって、

$2x^2 + xy - 3y^2 + 5x + 5y + 2 = (2x + 3y + 1)(x - y + 2)$

3. 最終的な答え

$(2x + 3y + 1)(x - y + 2)$