与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

次に、この式を $a$ について整理します。

$a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 = (b-c)a^2 + (c^2 - b^2)a + (b^2c - bc^2)$

$= (b-c)a^2 - (b^2 - c^2)a + bc(b-c)$

$= (b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)$

共通因数 $(b-c)$ でくくります。

$= (b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

$= (b-c)(a-b)(a-c)$

符号を調整して、一般的に見られる形にします。

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

与えられた式を因数分解した結果は、

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

または、

$(a-b)(b-c)(c-a)$ に $-1$ を掛けた $-(a-b)(b-c)(c-a)$ です。

または、$(a-b)(b-c)(a-c)$ と書くこともでき、これに $-1$ をかけて $-(a-b)(b-c)(a-c)$ と書くこともできます。

$(a-b)(b-c)(c-a)$ と書くのが一般的です。

最終的な答え：

$(a-b)(b-c)(c-a)$