与えられた式 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+2} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-2}$ を計算して、簡略化してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+2} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-2}$ を計算して、簡略化してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を通分します。

共通の分母は $(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)$ となります。

したがって、

$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+2} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-2) - \sqrt{5}(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}$$

次に、分子を展開します。

$$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-2) - \sqrt{5}(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} = \frac{\sqrt{15} - 2\sqrt{5} - \sqrt{15} - 2\sqrt{5}}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}$$

分子を整理します。

$$\frac{\sqrt{15} - 2\sqrt{5} - \sqrt{15} - 2\sqrt{5}}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} = \frac{-4\sqrt{5}}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}$$

次に、分母を展開します。

$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$

したがって、

$$\frac{-4\sqrt{5}}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} = \frac{-4\sqrt{5}}{-1} = 4\sqrt{5}$$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{5}$