(1) 等差数列 19, 23, 27, ... について、第10項から第20項までの和 S を求める。 (2) 等差数列 32, 49, 66, 83, ... について、300 と 500 の間にある項の和 S を求める。

1. 問題の内容

(1) 等差数列 19, 23, 27, ... について、第10項から第20項までの和 S を求める。

(2) 等差数列 32, 49, 66, 83, ... について、300 と 500 の間にある項の和 S を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、等差数列の一般項を求める。初項を $a$、公差を $d$ とすると、この数列では $a = 19$, $d = 23 - 19 = 4$ である。したがって、一般項 $a_n$ は $a_n = a + (n-1)d = 19 + (n-1)4 = 4n + 15$ となる。

第10項は $a_{10} = 4 \times 10 + 15 = 55$ であり、第20項は $a_{20} = 4 \times 20 + 15 = 95$ である。

第10項から第20項までの項数は $20 - 10 + 1 = 11$ である。

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ を用いて、第10項から第20項までの和 S を計算する。この場合、$n = 11$, $a_1 = a_{10} = 55$, $a_n = a_{20} = 95$ であるから、

$S = \frac{11}{2}(55 + 95) = \frac{11}{2} \times 150 = 11 \times 75 = 825$ となる。

(2)

この等差数列の初項は $a = 32$ であり、公差は $d = 49 - 32 = 17$ である。したがって、一般項 $a_n$ は $a_n = a + (n-1)d = 32 + (n-1)17 = 17n + 15$ となる。

まず、300 より大きい最初の項を求める。

$17n + 15 > 300$ を解くと $17n > 285$ となり、$n > \frac{285}{17} \approx 16.76$ となる。したがって、$n = 17$ のとき $a_{17} = 17 \times 17 + 15 = 289 + 15 = 304 > 300$ となる。

次に、500 より小さい最後の項を求める。

$17n + 15 < 500$ を解くと $17n < 485$ となり、$n < \frac{485}{17} \approx 28.53$ となる。したがって、$n = 28$ のとき $a_{28} = 17 \times 28 + 15 = 476 + 15 = 491 < 500$ となる。

よって、300 と 500 の間にある項は、第17項から第28項までの項である。項数は $28 - 17 + 1 = 12$ である。

等差数列の和の公式を用いて、第17項から第28項までの和 S を計算する。

$S = \frac{12}{2}(304 + 491) = 6 \times 795 = 4770$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 825

(2) 4770