与えられた数式の値を計算する問題です。数式は以下の通りです。 $\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} - \frac{1}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}} - \frac{1}{1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算する問題です。数式は以下の通りです。

$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} - \frac{1}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}} - \frac{1}{1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

まず、各項の分母を有理化することを考えます。しかし、ここでは、分数のペアごとに計算していく方が簡単です。

最初の2つの分数をまとめます。

$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2}{2}$

次の2つの分数をまとめます。

$\frac{1}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})(1 - \sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{(1 - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{1 - 2\sqrt{2} + 2 - 3} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

従って、

$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} - \frac{1}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}} - \frac{1}{1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{2}}{2} - \frac{2-\sqrt{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{2} - (2-\sqrt{2})}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$