問題は、与えられたベクトル a と b に対して、内積 a・b と外積 a×b を計算することです。ベクトル a は (4, -2, 1) で固定されており、ベクトル b は問題番号によって異なります。

1. 問題の内容

問題は、与えられたベクトル a と b に対して、内積 a・b と外積 a×b を計算することです。ベクトル a は (4, -2, 1) で固定されており、ベクトル b は問題番号によって異なります。

2. 解き方の手順

(i) 内積 a・b の計算:

内積は、対応する成分同士の積の和で計算されます。すなわち、

$a \cdot b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

ここで、$a_x, a_y, a_z$ はベクトル a の x, y, z 成分であり、$b_x, b_y, b_z$ はベクトル b の x, y, z 成分です。

(ii) 外積 a×b の計算:

外積は、以下の行列式を用いて計算されます。

$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y)i - (a_x b_z - a_z b_x)j + (a_x b_y - a_y b_x)k$

ここで、i, j, k はそれぞれ x, y, z 軸方向の単位ベクトルです。

(0) a = (4, -2, 1), b = (6, 0, -3)

内積: $a \cdot b = (4)(6) + (-2)(0) + (1)(-3) = 24 + 0 - 3 = 21$

外積: $a \times b = ((-2)(-3) - (1)(0))i - ((4)(-3) - (1)(6))j + ((4)(0) - (-2)(6))k = (6 - 0)i - (-12 - 6)j + (0 + 12)k = 6i + 18j + 12k = (6, 18, 12)$

(1) a = (4, -2, 1), b = (6, 1, 0)

内積: $a \cdot b = (4)(6) + (-2)(1) + (1)(0) = 24 - 2 + 0 = 22$

外積: $a \times b = ((-2)(0) - (1)(1))i - ((4)(0) - (1)(6))j + ((4)(1) - (-2)(6))k = (0 - 1)i - (0 - 6)j + (4 + 12)k = -i + 6j + 16k = (-1, 6, 16)$

(2) a = (4, -2, 1), b = (5, -1, 1)

内積: $a \cdot b = (4)(5) + (-2)(-1) + (1)(1) = 20 + 2 + 1 = 23$

外積: $a \times b = ((-2)(1) - (1)(-1))i - ((4)(1) - (1)(5))j + ((4)(-1) - (-2)(5))k = (-2 + 1)i - (4 - 5)j + (-4 + 10)k = -i + j + 6k = (-1, 1, 6)$

(3) a = (4, -2, 1), b = (5, -1, 2)

内積: $a \cdot b = (4)(5) + (-2)(-1) + (1)(2) = 20 + 2 + 2 = 24$

外積: $a \times b = ((-2)(2) - (1)(-1))i - ((4)(2) - (1)(5))j + ((4)(-1) - (-2)(5))k = (-4 + 1)i - (8 - 5)j + (-4 + 10)k = -3i - 3j + 6k = (-3, -3, 6)$

(4) a = (4, -2, 1), b = (7, 0, -3)

内積: $a \cdot b = (4)(7) + (-2)(0) + (1)(-3) = 28 + 0 - 3 = 25$

外積: $a \times b = ((-2)(-3) - (1)(0))i - ((4)(-3) - (1)(7))j + ((4)(0) - (-2)(7))k = (6 - 0)i - (-12 - 7)j + (0 + 14)k = 6i + 19j + 14k = (6, 19, 14)$

(5) a = (4, -2, 1), b = (6, -1, 0)

内積: $a \cdot b = (4)(6) + (-2)(-1) + (1)(0) = 24 + 2 + 0 = 26$

外積: $a \times b = ((-2)(0) - (1)(-1))i - ((4)(0) - (1)(6))j + ((4)(-1) - (-2)(6))k = (0 + 1)i - (0 - 6)j + (-4 + 12)k = i + 6j + 8k = (1, 6, 8)$

(6) a = (4, -2, 1), b = (5, -2, 3)

内積: $a \cdot b = (4)(5) + (-2)(-2) + (1)(3) = 20 + 4 + 3 = 27$

外積: $a \times b = ((-2)(3) - (1)(-2))i - ((4)(3) - (1)(5))j + ((4)(-2) - (-2)(5))k = (-6 + 2)i - (12 - 5)j + (-8 + 10)k = -4i - 7j + 2k = (-4, -7, 2)$

3. 最終的な答え

(0) 内積: 21, 外積: (6, 18, 12)

(1) 内積: 22, 外積: (-1, 6, 16)

(2) 内積: 23, 外積: (-1, 1, 6)

(3) 内積: 24, 外積: (-3, -3, 6)

(4) 内積: 25, 外積: (6, 19, 14)

(5) 内積: 26, 外積: (1, 6, 8)

(6) 内積: 27, 外積: (-4, -7, 2)