3次元デカルト座標系において、ベクトル $\vec{A} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}$ が与えられ、曲面 $S = \{(x, y, z) | x^2 + y^2 + z^2 = 4, x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0\}$ が与えられている。 以下の問題を解く。 (1) 3次元デカルト座標系上に曲面Sを描け。曲面Sを球座標 $(r, \theta, \phi)$ で表すとき、$\theta, \phi$ の範囲をそれぞれ示せ。 (2) S上の点の位置ベクトル $\vec{r}$ を求めよ。 (3) S上の単位法線ベクトル $\vec{n}$ を求めよ。 (4) $\iint_S \vec{A} \cdot \vec{n} dS$ を求めよ。

1. 問題の内容

3次元デカルト座標系において、ベクトル $\vec{A} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}$ が与えられ、曲面 $S = \{(x, y, z) | x^2 + y^2 + z^2 = 4, x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0\}$ が与えられている。

以下の問題を解く。

(1) 3次元デカルト座標系上に曲面Sを描け。曲面Sを球座標 $(r, \theta, \phi)$ で表すとき、$\theta, \phi$ の範囲をそれぞれ示せ。

(2) S上の点の位置ベクトル $\vec{r}$ を求めよ。

(3) S上の単位法線ベクトル $\vec{n}$ を求めよ。

(4) $\iint_S \vec{A} \cdot \vec{n} dS$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

曲面Sは、原点を中心とする半径2の球面の、第1象限にある部分である。

球座標は $(r, \theta, \phi)$ で表される。ここで、$r$ は原点からの距離、$\theta$ はxy平面からの角度、$\phi$ はx軸からの角度を表す。

曲面Sの式は $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ より、$r = 2$ である。

$x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$ より、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$、$0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$ となる。

(2)

S上の点の位置ベクトル $\vec{r}$ は、球座標を用いて以下のように表せる。

$\vec{r} = (x, y, z) = (r\sin\theta\cos\phi, r\sin\theta\sin\phi, r\cos\theta)$

$r = 2$ を代入すると、

$\vec{r} = (2\sin\theta\cos\phi, 2\sin\theta\sin\phi, 2\cos\theta)$

(3)

S上の単位法線ベクトル $\vec{n}$ は、原点から球面上の点へ向かう単位ベクトルである。

$\vec{n} = \frac{\vec{r}}{r} = \frac{(x, y, z)}{2} = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$

(4)

$\vec{A} = (1, 2, 3)$ であり、$\vec{n} = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$ であるから、

$\vec{A} \cdot \vec{n} = \sin\theta\cos\phi + 2\sin\theta\sin\phi + 3\cos\theta$

また、$dS = r^2\sin\theta d\theta d\phi = 4\sin\theta d\theta d\phi$ である。

したがって、

$\iint_S \vec{A} \cdot \vec{n} dS = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin\theta\cos\phi + 2\sin\theta\sin\phi + 3\cos\theta) 4\sin\theta d\theta d\phi$

$= 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2\theta\cos\phi + 2\sin^2\theta\sin\phi + 3\sin\theta\cos\theta) d\theta d\phi$

$= 4 \left[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\phi d\phi + 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\phi d\phi + 3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta\cos\theta d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\phi \right]$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta d\theta = \frac{\pi}{4}$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\phi d\phi = 1$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\phi d\phi = 1$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta\cos\theta d\theta = \frac{1}{2}$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\phi = \frac{\pi}{2}$

$\iint_S \vec{A} \cdot \vec{n} dS = 4 \left[ \frac{\pi}{4} \cdot 1 + 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = 4 \left[ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} \right] = 4 \cdot \frac{6\pi}{4} = 6\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta$ の範囲: $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$、$\phi$ の範囲: $0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$

(2) $\vec{r} = (2\sin\theta\cos\phi, 2\sin\theta\sin\phi, 2\cos\theta)$

(3) $\vec{n} = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$

(4) $6\pi$