2次不等式 $x^2 + kx + (k+3) > 0$ の解がすべての実数となるような $k$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + kx + (k+3) > 0$ の解がすべての実数となるような $k$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2 + kx + (k+3) > 0$ の解がすべての実数となるためには、2次関数 $y = x^2 + kx + (k+3)$ のグラフが常に $x$ 軸よりも上にある必要があります。つまり、この2次関数の判別式 $D$ が $D < 0$ である必要があります。

判別式 $D$ は次のように計算できます。

$D = k^2 - 4(k+3)$

$D < 0$ より、

$k^2 - 4(k+3) < 0$

$k^2 - 4k - 12 < 0$

$(k-6)(k+2) < 0$

したがって、$k$ の範囲は $-2 < k < 6$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 < k < 6$