2次方程式 $x^2 + 2(m-3)x + 4m = 0$ が与えられています。以下の3つの条件を満たすときの定数 $m$ の値の範囲をそれぞれ求めます。 (1) 異なる2つの正の解をもつ (2) 異なる2つの負の解をもつ (3) 正の解と負の解をもつ

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2(m-3)x + 4m = 0$ が与えられています。以下の3つの条件を満たすときの定数 $m$ の値の範囲をそれぞれ求めます。

(1) 異なる2つの正の解をもつ

(2) 異なる2つの負の解をもつ

(3) 正の解と負の解をもつ

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = [2(m-3)]^2 - 4(1)(4m) = 4(m^2 - 6m + 9) - 16m = 4(m^2 - 6m + 9 - 4m) = 4(m^2 - 10m + 9) = 4(m-1)(m-9)$

次に、2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -2(m-3) = 6-2m$

$\alpha \beta = 4m$

(1) 異なる2つの正の解をもつ条件

i) $D > 0$ (異なる2つの実数解)

$4(m-1)(m-9) > 0$ より、$m < 1$ または $m > 9$

ii) $\alpha + \beta > 0$ (解の和が正)

$6 - 2m > 0$ より、$m < 3$

iii) $\alpha \beta > 0$ (解の積が正)

$4m > 0$ より、$m > 0$

i), ii), iii) をすべて満たす $m$ の範囲は、$0 < m < 1$

(2) 異なる2つの負の解をもつ条件

i) $D > 0$ (異なる2つの実数解)

$m < 1$ または $m > 9$

ii) $\alpha + \beta < 0$ (解の和が負)

$6 - 2m < 0$ より、$m > 3$

iii) $\alpha \beta > 0$ (解の積が正)

$4m > 0$ より、$m > 0$

i), ii), iii) をすべて満たす $m$ の範囲は、$m > 9$

(3) 正の解と負の解をもつ条件

$\alpha \beta < 0$ (解の積が負)

$4m < 0$ より、$m < 0$

判別式が正である条件は、解の積が負である条件に含まれます。なぜなら、2つの解が実数である必要があり、それらは異符号であるため、判別式は必ず正となります。

3. 最終的な答え

(1) $0 < m < 1$

(2) $m > 9$

(3) $m < 0$