与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるために、行列 $A$ に単位行列 $E$ を並べた拡大行列を作り、行基本変形を行って $A$ を単位行列に変形します。その結果、右側に現れる行列が $A^{-1}$ となります。

拡大行列は以下のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

まず、2行目を1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 & 0 & -1/2 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

2行目から3行目の1/2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

左側が単位行列になったので、右側にある行列が $A^{-1}$ です。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$