与えられた上三角行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた上三角行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるために、拡大行列 $(A | I)$ を作り、基本変形を行って $(I | A^{-1})$ の形に変形します。ここで、$I$ は3x3の単位行列です。

まず、拡大行列 $(A | I)$ を書きます。

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(A | I) = \begin{pmatrix} 1 & a & b & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & c & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

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次に、第2行を-a倍して第1行に加えます。$R_1 \rightarrow R_1 - aR_2$

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\begin{pmatrix} 1 & 0 & b-ac & | & 1 & -a & 0 \\ 0 & 1 & c & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

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次に、第3行を-c倍して第2行に加えます。$R_2 \rightarrow R_2 - cR_3$

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\begin{pmatrix} 1 & 0 & b-ac & | & 1 & -a & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

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最後に、第3行を$(ac-b)$倍して第1行に加えます。$R_1 \rightarrow R_1 + (ac-b)R_3$

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\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & -a & ac-b \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

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したがって、逆行列 $A^{-1}$ は次のようになります。

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A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -a & ac-b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

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3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -a & ac-b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$