連立方程式 $\begin{cases} 2x + y = b \\ x + ay = 2 \end{cases}$ が一意に解をもたないとき、定数 $a$ と $b$ の値を求め、連立方程式を解く。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases} 2x + y = b \\ x + ay = 2 \end{cases}$

が一意に解をもたないとき、定数 $a$ と $b$ の値を求め、連立方程式を解く。

2. 解き方の手順

(1) 連立方程式が一意に解を持たない条件は、2つの式が平行であること、つまり、

$\frac{2}{1} = \frac{1}{a} \neq \frac{b}{2}$

が成立することである。$\frac{2}{1} = \frac{1}{a}$ より、$a = \frac{1}{2}$ である。

$\frac{1}{a} \neq \frac{b}{2}$ より、$b \neq 4$ である。

(2) $a = \frac{1}{2}$ を連立方程式に代入すると、

$\begin{cases} 2x + y = b \\ x + \frac{1}{2}y = 2 \end{cases}$

となる。2番目の式を2倍すると、$2x + y = 4$ となる。

したがって、

$\begin{cases} 2x + y = b \\ 2x + y = 4 \end{cases}$

となる。

この連立方程式が解を持つためには、$b=4$ でなければならない。しかし、問題文には一意に解を持たないとあるので、$b=4$ ではない。

したがって、この連立方程式は解を持たない。

しかし、b=4でないと解が存在しない。

仮に$b = 4$とすると、$2x+y=4$となり、解は無数に存在する。

$y = 4-2x$を解とすると、$x$は任意の実数を取り得る。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) $b \neq 4$ のとき、解なし。$b = 4$ のとき、解は $y = 4-2x$ (xは任意の実数)。