$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ とする。 (1) $a$ の分母を有理化して簡単にせよ。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 - b^2$ の値を求めよ。 (3) $b$ を(2)で求めた値とし、$p$ は定数とする。$x$ についての不等式 $p < x < p + 4b$ がある。不等式を満たす整数 $x$ が全部で3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ とする。

(1) $a$ の分母を有理化して簡単にせよ。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 - b^2$ の値を求めよ。

(3) $b$ を(2)で求めた値とし、$p$ は定数とする。$x$ についての不等式 $p < x < p + 4b$ がある。不等式を満たす整数 $x$ が全部で3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 分母を有理化する。$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $a = 3 + 2\sqrt{2}$ の整数部分は $3 + 2 \times 1 = 5$ なので、$a = 3 + 2\sqrt{2} = 3 + \sqrt{8}$ であり、$2 < \sqrt{8} < 3$ なので $5 < a < 6$ 。したがって整数部分は 5 なので、小数部分 $b = a - 5 = 3 + 2\sqrt{2} - 5 = 2\sqrt{2} - 2$

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ より、

$a+b = 3 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2 = 1 + 4\sqrt{2}$

$a-b = 3 + 2\sqrt{2} - (2\sqrt{2} - 2) = 3 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 2 = 5$

したがって、$a^2 - b^2 = (1 + 4\sqrt{2}) \times 5 = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) $p < x < p + 4b$ であり、$b = 2\sqrt{2} - 2$ より、$p < x < p + 4(2\sqrt{2} - 2) = p + 8\sqrt{2} - 8$

不等式を満たす整数が3個で、その和が0となるのは、連続する3つの整数が$-1, 0, 1$ となる場合である。したがって、整数の値は $-1, 0, 1$ となり、

$p < -1$ かつ $1 < p + 8\sqrt{2} - 8$ となる必要がある。

$p < x < p + 8\sqrt{2} - 8$ の範囲に $-1, 0, 1$ が含まれるためには、

$p < -1 \le p + 8\sqrt{2} - 8$

$p < 0 \le p + 8\sqrt{2} - 8$

$p < 1 \le p + 8\sqrt{2} - 8$

かつ、$p + 8\sqrt{2} - 8 < 2$

つまり、

$p < -1$ かつ $p + 8\sqrt{2} - 8 \ge -1$

$p < 0$ かつ $p + 8\sqrt{2} - 8 \ge 0$

$p < 1$ かつ $p + 8\sqrt{2} - 8 \ge 1$

かつ、$p + 8\sqrt{2} - 8 < 2$

$-1 < x < 2$ に整数 $-1, 0, 1$ が存在するためには、$x=-2$や$x=2$が含まれてはいけない。したがって、

$p < -1$ かつ $p + 8\sqrt{2} - 8 > 1$ でなければならない。

$8\sqrt{2} - 9 > -p$ より $p > 9 - 8\sqrt{2}$

$p < -1$ かつ $p < 10 - 8\sqrt{2}$

したがって、$9 - 8\sqrt{2} < p < 10 - 8\sqrt{2}$ かつ $-1 < x < 2$に $x \in \{-1, 0, 1\}$ となるためには、$9-8\sqrt{2} < p < -1$かつ$1 < p + 8\sqrt{2}-8 < 2$ より $9 < p + 8\sqrt{2} < 10$ より $9-8\sqrt{2} < p < 10-8\sqrt{2}$ となる必要がある。

また、不等式を満たす整数が3個でなければならないから、$x=-2$が含まれてはならない。

$p > 9 - 8\sqrt{2} \approx -2.31 > -3$ なので、$x=-2$ は含まれない。

また、$p < 10-8\sqrt{2} \approx 1.68 < 2$ なので、$x=2$は含まれない。

したがって、$9 - 8\sqrt{2} < p < 10 - 8\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2} - 2$, $a^2 - b^2 = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) $9 - 8\sqrt{2} < p \le 10 - 8\sqrt{2}$