2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とする。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $a^2 + b^2$ と $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{b}{a}$ を解け。また、不等式と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とする。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $a^2 + b^2$ と $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{b}{a}$ を解け。また、不等式と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ を解の公式を用いて解く。

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$a < b$ より、 $a = 2 - \sqrt{6}$, $b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2$ を求める。

$a^2 + b^2 = (2 - \sqrt{6})^2 + (2 + \sqrt{6})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) + (4 + 4\sqrt{6} + 6) = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$ を求める。

$ab = (2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) = 4 - 6 = -2$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{20}{-2} = -10$

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{b}{a}$ を解く。

$\frac{a}{b} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} = \frac{(2 - \sqrt{6})^2}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} = \frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2} = -5 + 2\sqrt{6}$

$\frac{b}{a} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{1}{-5 + 2\sqrt{6}} = \frac{-5 - 2\sqrt{6}}{(-5 + 2\sqrt{6})(-5 - 2\sqrt{6})} = \frac{-5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} = -5 - 2\sqrt{6}$

不等式は $|x - (-5 + 2\sqrt{6})| \le -5 - 2\sqrt{6}$ となる。

$-5 - 2\sqrt{6} \le x + 5 - 2\sqrt{6} \le 5 + 2\sqrt{6}$

$-10 - 4\sqrt{6} \le x \le 4\sqrt{6}$

$-10 - 4\sqrt{6} \approx -10 - 4(2.449) = -10 - 9.796 = -19.796$

$4\sqrt{6} \approx 4(2.449) = 9.796$

$-19.796 \le x \le 9.796$ を満たす整数 $x$ は $-19, -18, \dots, 8, 9$ である。

$k \le x \le k+3$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個となるのは、$k$ が連続する整数の間にあるとき。

$k \le x \le k+3$ が $-19.796 \le x \le 9.796$ を満たす整数 $x$ を2つ含む。

整数が2つとなるのは $k$ が端点の近くにあるとき。

$k \le x \le k+3$ で整数 $x$ が2つの時、$k+3 - k < 3$ なのでありえない。

整数xが2つ存在するためには、$k$ と $k+3$ の間に整数が2つだけあればよい。

すなわち、

$9.796-3<k \le 9.796-2$　または、 $-19.796+2 \le k < -19.796+3$

$6.796<k \le 7.796$　または、 $-17.796 \le k < -16.796$

整数xが2個となるkの範囲は、$6 < k \le 7$ または $-18 \le k < -17$ 。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20, \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$

(3) $-10 - 4\sqrt{6} \le x \le 4\sqrt{6}$, $6 < k \le 7$ または $-18 \le k < -17$