ベクトル $\vec{a}=(-7, 4)$, $\vec{b}=(2, -3)$ と実数 $t$ に対して, $|\vec{a}+t\vec{b}|$ が最小となるときの $t$ の値と、そのときの最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}=(-7, 4)$, $\vec{b}=(2, -3)$ と実数 $t$ に対して, $|\vec{a}+t\vec{b}|$ が最小となるときの $t$ の値と、そのときの最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}+t\vec{b}$ を計算します。

$\vec{a}+t\vec{b} = (-7, 4) + t(2, -3) = (-7+2t, 4-3t)$.

次に、 $|\vec{a}+t\vec{b}|$ の2乗を計算します。

$|\vec{a}+t\vec{b}|^2 = (-7+2t)^2 + (4-3t)^2 = 49 - 28t + 4t^2 + 16 - 24t + 9t^2 = 13t^2 - 52t + 65$.

$|\vec{a}+t\vec{b}|$ を最小にする $t$ の値は、$|\vec{a}+t\vec{b}|^2$ を最小にする $t$ の値と一致します。

そこで、$f(t) = 13t^2 - 52t + 65$ を平方完成します。

$f(t) = 13(t^2 - 4t) + 65 = 13(t^2 - 4t + 4 - 4) + 65 = 13(t-2)^2 - 52 + 65 = 13(t-2)^2 + 13$.

$f(t)$ は $t=2$ のとき最小値13をとります。

したがって、$|\vec{a}+t\vec{b}|$ は $t=2$ のとき最小値 $\sqrt{13}$ をとります。

3. 最終的な答え

$t=2$ のとき最小値 $\sqrt{13}$ をとる。