与えられた式を展開する問題です。問題は(4) $(a-b)^2(a+b)^2(a^2+b^2)^2$と(6) $(x-2)(x-4)(x+3)(x+5)$の2つです。

1. 問題の内容

与えられた式を展開する問題です。問題は(4) $(a-b)^2(a+b)^2(a^2+b^2)^2$と(6) $(x-2)(x-4)(x+3)(x+5)$の2つです。

2. 解き方の手順

(4) の場合：

まず、$(a-b)^2(a+b)^2$ を計算します。

$(a-b)^2(a+b)^2 = ((a-b)(a+b))^2 = (a^2 - b^2)^2$

次に、$(a^2 - b^2)^2$ を展開します。

$(a^2 - b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

最後に、$(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^2+b^2)^2$を計算します。

$(a^2+b^2)^2 = a^4+2a^2b^2+b^4$

よって、$(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^4+2a^2b^2+b^4)$を計算します。これは$(A-B)(A+B)=A^2-B^2$の形なので、

$(a^4+b^4)^2 - (2a^2b^2)^2 = a^8 + 2a^4b^4 + b^8 - 4a^4b^4 = a^8 - 2a^4b^4 + b^8$

これは$(a^4-b^4)^2$とも書けます。

(6) の場合：

まず、適切な組み合わせを見つけるため、定数項の和が等しくなるように組み合わせます。

$(x-2)(x-4)(x+3)(x+5) = (x-2)(x+3)(x-4)(x+5)$

$= (x^2 + 3x - 2x - 6)(x^2 + 5x - 4x - 20) = (x^2 + x - 6)(x^2 + x - 20)$

次に、$x^2 + x = A$ とおくと、

$(A - 6)(A - 20) = A^2 - 26A + 120$

$A = x^2 + x$ を代入すると、

$(x^2 + x)^2 - 26(x^2 + x) + 120 = x^4 + 2x^3 + x^2 - 26x^2 - 26x + 120 = x^4 + 2x^3 - 25x^2 - 26x + 120$

3. 最終的な答え

(4) $a^8 - 2a^4b^4 + b^8$

(6) $x^4 + 2x^3 - 25x^2 - 26x + 120$