与えられた二次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、グラフの頂点の座標と軸の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、グラフの頂点の座標と軸の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた二次関数を平方完成させることで、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形できます。このとき、頂点の座標は $(p, q)$ であり、軸の方程式は $x = p$ となります。

(1) $y = 2x^2 + 20x + 50$

$y = 2(x^2 + 10x) + 50$

$y = 2(x^2 + 10x + 25 - 25) + 50$

$y = 2((x + 5)^2 - 25) + 50$

$y = 2(x + 5)^2 - 50 + 50$

$y = 2(x + 5)^2$

(2) $y = -3x^2 - 6x$

$y = -3(x^2 + 2x)$

$y = -3(x^2 + 2x + 1 - 1)$

$y = -3((x + 1)^2 - 1)$

$y = -3(x + 1)^2 + 3$

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) - \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) - \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}((x - 1)^2 - 1) - \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 - 1$

(4) $y = \frac{1}{3}x^2 + x + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{3}(x^2 + 3x) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{3}(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{3}((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{3}(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{3}(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2(x + 5)^2$

頂点の座標: $(-5, 0)$

軸の方程式: $x = -5$

(2) $y = -3(x + 1)^2 + 3$

頂点の座標: $(-1, 3)$

軸の方程式: $x = -1$

(3) $y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 - 1$

頂点の座標: $(1, -1)$

軸の方程式: $x = 1$

(4) $y = \frac{1}{3}(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$

頂点の座標: $(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$

軸の方程式: $x = -\frac{3}{2}$