与えられた式を因数分解する問題です。 (2) $27xy^3 - 12x^3y$ (4) $3a^4b - 4a^2b^3 - a^3b^2$ (6) $(x+y)^2 - x - y - 2$ (8) $x^2 - y^2 - 4y - 4$ (2) $xy^2 - x + y - 1$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。

(2) $27xy^3 - 12x^3y$

(4) $3a^4b - 4a^2b^3 - a^3b^2$

(6) $(x+y)^2 - x - y - 2$

(8) $x^2 - y^2 - 4y - 4$

(2) $xy^2 - x + y - 1$

2. 解き方の手順

(2) $27xy^3 - 12x^3y$

まず、共通因数で括り出します。共通因数は $3xy$ です。

$3xy(9y^2 - 4x^2)$

次に、$9y^2 - 4x^2$ を因数分解します。これは $(3y)^2 - (2x)^2$ と見なせるので、二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用いると、$(3y + 2x)(3y - 2x)$ となります。

したがって、

$3xy(3y + 2x)(3y - 2x)$

(4) $3a^4b - 4a^2b^3 - a^3b^2$

まず、共通因数で括り出します。共通因数は $a^2b$ です。

$a^2b(3a^2 - 4b^2 - ab)$

次に、$3a^2 - 4b^2 - ab$ を因数分解しようと試みます。

$3a^2 - ab - 4b^2 = 3a^2 - 4ab + 3ab - 4b^2 = a(3a - 4b) + b(3a - 4b) = (a+b)(3a-4b)$

したがって、

$a^2b(3a - 4b)(a + b)$

(6) $(x+y)^2 - x - y - 2$

$x+y = A$ と置換すると、

$A^2 - A - 2$

$(A-2)(A+1)$

元の変数に戻すと、

$(x+y-2)(x+y+1)$

(8) $x^2 - y^2 - 4y - 4$

$x^2 - (y^2 + 4y + 4)$

$x^2 - (y+2)^2$

$(x - (y+2))(x + (y+2))$

$(x - y - 2)(x + y + 2)$

(2) $xy^2 - x + y - 1$

$x(y^2 - 1) + (y - 1)$

$x(y - 1)(y + 1) + (y - 1)$

$(y - 1)(x(y + 1) + 1)$

$(y - 1)(xy + x + 1)$

3. 最終的な答え

(2) $3xy(3y + 2x)(3y - 2x)$

(4) $a^2b(3a - 4b)(a + b)$

(6) $(x+y-2)(x+y+1)$

(8) $(x - y - 2)(x + y + 2)$

(2) $(y - 1)(xy + x + 1)$