二次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とするとき、以下の問題を解く。 (1) $a$ と $b$ の値を求める。 (2) $a^2 + b^2$ と $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値を求める。 (3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{b}{a}$ を解く。さらに、不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{b}{a}$ と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とするとき、以下の問題を解く。

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

(2) $a^2 + b^2$ と $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値を求める。

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{b}{a}$ を解く。さらに、不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{b}{a}$ と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ を解く。解の公式 $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ を用いる。ここで、$A=1, B=-4, C=-2$ である。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$a < b$ より、$a = 2 - \sqrt{6}$、$b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2$ を求める。

$a^2 = (2 - \sqrt{6})^2 = 4 - 4\sqrt{6} + 6 = 10 - 4\sqrt{6}$

$b^2 = (2 + \sqrt{6})^2 = 4 + 4\sqrt{6} + 6 = 10 + 4\sqrt{6}$

$a^2 + b^2 = (10 - 4\sqrt{6}) + (10 + 4\sqrt{6}) = 20$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$ を求める。

$ab = (2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) = 4 - 6 = -2$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{20}{-2} = -10$

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{b}{a}$ を解く。

$\frac{a}{b} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} = \frac{(2 - \sqrt{6})^2}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} = \frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2} = -5 + 2\sqrt{6}$

$\frac{b}{a} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2 - \sqrt{6}} = \frac{(2 + \sqrt{6})^2}{(2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6})} = \frac{4 + 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 + 4\sqrt{6}}{-2} = -5 - 2\sqrt{6}$

$|x - (-5 + 2\sqrt{6})| \le -5 - 2\sqrt{6}$

$-5 - 2\sqrt{6} \le x + 5 - 2\sqrt{6} \le 5 + 2\sqrt{6}$

$-10 - 4\sqrt{6} \le x \le 4\sqrt{6}$

約$-19.8 \le x \le 9.8$

次に、$k \le x \le k + 3$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個となるような $k$ の範囲を求める。

$-10 - 4\sqrt{6} \le x \le 4\sqrt{6}$ と $k \le x \le k + 3$ を満たす整数がちょうど2個になるには、$4\sqrt{6} \approx 9.8$ であるので、整数は$-19, -18,...,8, 9$ となる。

$k \le x \le k+3$ に含まれる整数が２個である条件は、

$k \le n < n+1 < k+3 < n+2$ または $k < n \le n+1 \le k+3 < n+2$となるような整数 $n$ が存在する場合を考える。

このことから、$k > -20$ かつ $k+3 < -17$ の時、すなわち $-20 < k < -20$ これはありえない。

次に $k > 6$ かつ $k+3 < 10$ より、 $6 < k < 7$

あるいは、$4\sqrt{6}-2 < k \le 4\sqrt{6}-1$ 約 7.8 < k <= 8.8となり、整数xが8と9の2つの場合となる。この時kの値の範囲は、$4\sqrt{6}-2 < k \le 4\sqrt{6}-1$.

あるいは、$-10-4\sqrt{6} < -16, k \le -19, k+3 > -18, -21 < k <= -19$. 整数は、-19と-

1

8.

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20, \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$

(3) $-10 - 4\sqrt{6} \le x \le 4\sqrt{6}$、$4\sqrt{6}-2 < k \le 4\sqrt{6}-1$, $-21 < k \le -19$

または、 $6 < k < 7$ (この場合、整数解は７、８となる）