2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a$, $b$ ($a < b$) とする。以下の問いに答えよ。 (1) $a$, $b$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $a^2 + b^2$, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{b}{a}$ を解け。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a$, $b$ ($a < b$) とする。以下の問いに答えよ。

(1) $a$, $b$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $a^2 + b^2$, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{b}{a}$ を解け。

2. 解き方の手順

(1) 解の公式を用いて2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ を解く。

解の公式より、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$a < b$ より、$a = 2 - \sqrt{6}$, $b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2$ を求める。

$a^2 = (2 - \sqrt{6})^2 = 4 - 4\sqrt{6} + 6 = 10 - 4\sqrt{6}$

$b^2 = (2 + \sqrt{6})^2 = 4 + 4\sqrt{6} + 6 = 10 + 4\sqrt{6}$

$a^2 + b^2 = (10 - 4\sqrt{6}) + (10 + 4\sqrt{6}) = 20$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$ を求める。

$ab = (2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) = 4 - 6 = -2$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{20}{-2} = -10$

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{b}{a}$ を解く。

まず $\frac{a}{b}$ と $\frac{b}{a}$ を計算する。

$\frac{a}{b} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} = \frac{(2 - \sqrt{6})^2}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} = \frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2} = -5 + 2\sqrt{6}$

$\frac{b}{a} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{1}{-5 + 2\sqrt{6}} = \frac{-5 - 2\sqrt{6}}{(-5 + 2\sqrt{6})(-5 - 2\sqrt{6})} = \frac{-5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} = -5 - 2\sqrt{6}$

よって、不等式は $|x - (-5 + 2\sqrt{6})| \le -5 - 2\sqrt{6}$ となる。

これは $|x + 5 - 2\sqrt{6}| \le -5 - 2\sqrt{6}$ と書き換えられる。

絶対値の中身が正の場合と負の場合に分けて考える。

i) $x + 5 - 2\sqrt{6} \ge 0$ のとき、$x + 5 - 2\sqrt{6} \le -5 - 2\sqrt{6}$

$x \le -10$

ii) $x + 5 - 2\sqrt{6} < 0$ のとき、$-(x + 5 - 2\sqrt{6}) \le -5 - 2\sqrt{6}$

$-x - 5 + 2\sqrt{6} \le -5 - 2\sqrt{6}$

$-x \le -4\sqrt{6}$

$x \ge 4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 - \sqrt{6}$, $b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20$, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$

(3) $x \le -10$ または $x \ge 4\sqrt{6}$