等比数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。公比は実数とします。 (1) 初項が-2、第4項が128 (2) 第2項が6、第5項が-48 (3) 第3項が32、第7項が2

1. 問題の内容

等比数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。公比は実数とします。

(1) 初項が-2、第4項が128

(2) 第2項が6、第5項が-48

(3) 第3項が32、第7項が2

2. 解き方の手順

(1) 初項を$a$、公比を$r$とすると、一般項は$a_n = a r^{n-1}$で表されます。

初項$a = -2$、第4項$a_4 = ar^3 = 128$です。

$ar^3 = (-2)r^3 = 128$

$r^3 = -64$

$r = -4$

したがって、一般項は$a_n = (-2)(-4)^{n-1}$

(2) 第2項$a_2 = ar = 6$、第5項$a_5 = ar^4 = -48$です。

$\frac{a_5}{a_2} = \frac{ar^4}{ar} = r^3 = \frac{-48}{6} = -8$

$r^3 = -8$

$r = -2$

$ar = a(-2) = 6$

$a = -3$

したがって、一般項は$a_n = (-3)(-2)^{n-1}$

(3) 第3項$a_3 = ar^2 = 32$、第7項$a_7 = ar^6 = 2$です。

$\frac{a_7}{a_3} = \frac{ar^6}{ar^2} = r^4 = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$

$r^4 = \frac{1}{16}$

$r = \pm \frac{1}{2}$

$r = \frac{1}{2}$のとき、$ar^2 = a(\frac{1}{2})^2 = a(\frac{1}{4}) = 32$なので、$a = 128$

$r = -\frac{1}{2}$のとき、$ar^2 = a(-\frac{1}{2})^2 = a(\frac{1}{4}) = 32$なので、$a = 128$

$r = \frac{1}{2}$の場合、$a_n = 128(\frac{1}{2})^{n-1}$

$r = -\frac{1}{2}$の場合、$a_n = 128(-\frac{1}{2})^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = -2(-4)^{n-1}$

(2) $a_n = -3(-2)^{n-1}$

(3) $a_n = 128(\frac{1}{2})^{n-1}$ または $a_n = 128(-\frac{1}{2})^{n-1}$