問題は、自然数 $n$ と実数 $x$ に関する命題の真偽を調べる問題です。特に、与えられた命題の逆、裏、対偶を求め、それらの真偽を判定します。今回は、問題の(2)と(3)を解きます。

1. 問題の内容

問題は、自然数 $n$ と実数 $x$ に関する命題の真偽を調べる問題です。特に、与えられた命題の逆、裏、対偶を求め、それらの真偽を判定します。今回は、問題の(2)と(3)を解きます。

2. 解き方の手順

(2)

命題：$x \ne 2 \implies x^2 - 3x + 2 \ne 0$

与えられた命題の真偽を調べます。$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ なので、$x=1$ または $x=2$ のとき、$x^2 - 3x + 2 = 0$ となります。$x \ne 2$ であるとき、$x = 1$ となる可能性があるので、$x^2 - 3x + 2 \ne 0$ とは限りません。したがって、この命題は偽です。

逆：$x^2 - 3x + 2 \ne 0 \implies x \ne 2$

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \ne 0$ であるとき、$x \ne 1$ かつ $x \ne 2$ です。したがって、$x \ne 2$ は成り立ちます。この命題は真です。

裏：$x = 2 \implies x^2 - 3x + 2 = 0$

$x=2$ のとき、$x^2 - 3x + 2 = 2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ となり、この命題は真です。

対偶：$x^2 - 3x + 2 = 0 \implies x = 2$

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0$ のとき、$x=1$ または $x=2$ です。したがって、$x=2$ とは限りません。この命題は偽です。

(3)

命題：$x^2 - x = 0 \implies x = 0$ または $x = 1$

$x^2 - x = x(x-1) = 0$ であるとき、$x = 0$ または $x = 1$ です。したがって、この命題は真です。

逆：$x = 0$ または $x = 1 \implies x^2 - x = 0$

$x = 0$ のとき、$x^2 - x = 0^2 - 0 = 0$

$x = 1$ のとき、$x^2 - x = 1^2 - 1 = 0$

したがって、$x = 0$ または $x = 1$ ならば、$x^2 - x = 0$ となります。この命題は真です。

裏：$x \ne 0$ かつ $x \ne 1 \implies x^2 - x \ne 0$

$x \ne 0$ かつ $x \ne 1$ であるとき、$x(x-1) \ne 0$ なので、$x^2 - x \ne 0$ となります。この命題は真です。

対偶：$x^2 - x \ne 0 \implies x \ne 0$ かつ $x \ne 1$

$x^2 - x \ne 0$ すなわち $x(x-1) \ne 0$ であるとき、$x \ne 0$ かつ $x \ne 1$ です。したがって、この命題は真です。

3. 最終的な答え

(2)

命題：偽

逆：真

裏：真

対偶：偽

(3)

命題：真

逆：真

裏：真

対偶：真