2つの数、3と9の相加平均と相乗平均をそれぞれ求める。

## 問題37 (1)の解答

1. 問題の内容

2つの数、3と9の相加平均と相乗平均をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

相加平均は、2つの数の和を2で割ったものです。相乗平均は、2つの数の積の平方根です。

相加平均の計算：

$(3 + 9) / 2 = 12 / 2 = 6$

相乗平均の計算：

$\sqrt{3 \times 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

相加平均：6

相乗平均：$3\sqrt{3}$

## 問題37 (5)の解答

1. 問題の内容

2つの数、27と45の相加平均と相乗平均をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

相加平均は、2つの数の和を2で割ったものです。相乗平均は、2つの数の積の平方根です。

相加平均の計算：

$(27 + 45) / 2 = 72 / 2 = 36$

相乗平均の計算：

$\sqrt{27 \times 45} = \sqrt{3^3 \times 3^2 \times 5} = \sqrt{3^5 \times 5} = \sqrt{3^4 \times 3 \times 5} = 3^2 \sqrt{15} = 9\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

相加平均：36

相乗平均：$9\sqrt{15}$

## 問題38 (1) の解答

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{25}{x} \geq 10$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

相加相乗平均の不等式を利用します。$x > 0$ より、$\frac{25}{x} > 0$ であるから、

$x + \frac{25}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{25}{x}} = 2\sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$

等号が成り立つのは $x = \frac{25}{x}$ のとき、つまり $x^2 = 25$ のときです。$x > 0$ より、$x = 5$ となります。

3. 最終的な答え

不等式 $x + \frac{25}{x} \geq 10$ は証明された。等号が成り立つのは $x = 5$ のとき。

## 問題38 (4) の解答

1. 問題の内容

$x > 0, y > 0$ のとき、不等式 $\frac{x}{3y} + \frac{y}{3x} \geq \frac{2}{3}$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

相加相乗平均の不等式を利用します。$x > 0, y > 0$ より、$\frac{x}{3y} > 0, \frac{y}{3x} > 0$ であるから、

$\frac{x}{3y} + \frac{y}{3x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{3y} \cdot \frac{y}{3x}} = 2\sqrt{\frac{1}{9}} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

等号が成り立つのは $\frac{x}{3y} = \frac{y}{3x}$ のとき、つまり $3x^2 = 3y^2$ のときです。よって、$x^2 = y^2$ となり、$x > 0, y > 0$ より、$x = y$ となります。

3. 最終的な答え

不等式 $\frac{x}{3y} + \frac{y}{3x} \geq \frac{2}{3}$ は証明された。等号が成り立つのは $x = y$ のとき。

## 問題39 の解答

1. 問題の内容

$a > 0, b > 0$ のとき、不等式 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{1}{a}) \geq 4$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

展開して整理し、相加相乗平均の不等式を利用します。

$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{1}{a}) = ab + 1 + 1 + \frac{1}{ab} = ab + \frac{1}{ab} + 2$

$a > 0, b > 0$ より、$ab > 0$ であるから、相加相乗平均の不等式を用いて、

$ab + \frac{1}{ab} \geq 2\sqrt{ab \cdot \frac{1}{ab}} = 2\sqrt{1} = 2$

したがって、

$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{1}{a}) = ab + \frac{1}{ab} + 2 \geq 2 + 2 = 4$

等号が成り立つのは $ab = \frac{1}{ab}$ のとき、つまり $a^2b^2 = 1$ のときです。$a > 0, b > 0$ より、$ab = 1$ となります。

3. 最終的な答え

不等式 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{1}{a}) \geq 4$ は証明された。等号が成り立つのは $ab = 1$ のとき。