初項が 2、公比が 3 である等比数列 $\{a_n\}$ において、初めて 1000 より大きくなるのは第何項かを求める。

1. 問題の内容

初項が 2、公比が 3 である等比数列 $\{a_n\}$ において、初めて 1000 より大きくなるのは第何項かを求める。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ で表される。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数である。この問題の場合、$a_1 = 2$、$r = 3$ であるから、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ となる。

初めて 1000 より大きくなる項を求めるには、$a_n > 1000$ となる最小の $n$ を求めればよい。

したがって、不等式 $2 \cdot 3^{n-1} > 1000$ を解く。

まず、両辺を 2 で割ると、

$3^{n-1} > 500$

両辺の対数をとる。常用対数（底が10）をとると、

$\log_{10} (3^{n-1}) > \log_{10} 500$

$(n-1) \log_{10} 3 > \log_{10} 500$

$\log_{10} 500 = \log_{10} (5 \times 10^2) = \log_{10} 5 + \log_{10} 10^2 = \log_{10} 5 + 2$

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$

一般的に $\log_{10} 2 \approx 0.3010, \log_{10} 3 \approx 0.4771$ を用いる。

$\log_{10} 5 \approx 1 - 0.3010 = 0.6990$

$\log_{10} 500 \approx 0.6990 + 2 = 2.6990$

$(n-1) \cdot 0.4771 > 2.6990$

$n-1 > \frac{2.6990}{0.4771} \approx 5.656$

$n > 6.656$

$n$ は整数なので、$n = 7$

$a_6 = 2 \cdot 3^{6-1} = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486$

$a_7 = 2 \cdot 3^{7-1} = 2 \cdot 3^6 = 2 \cdot 729 = 1458$

3. 最終的な答え

第 7 項