(1) 複素数平面上で、等式 $|3z-4i|=2|z-3i|$ を満たす点 $z$ の全体がどのような図形を表すか答えよ。 (2) 複素数 $z$ が (1) の等式を満たすとき、$|\frac{1}{2}z+2i|$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $z$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

(1) 複素数平面上で、等式 $|3z-4i|=2|z-3i|$ を満たす点 $z$ の全体がどのような図形を表すか答えよ。

(2) 複素数 $z$ が (1) の等式を満たすとき、$|\frac{1}{2}z+2i|$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $z$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた等式 $|3z-4i|=2|z-3i|$ を変形する。

$|3z-4i|=|3(z-\frac{4}{3}i)| = 3|z-\frac{4}{3}i|$

$2|z-3i|$ はそのまま。

したがって、

$3|z-\frac{4}{3}i| = 2|z-3i|$

両辺を2乗すると

$9|z-\frac{4}{3}i|^2 = 4|z-3i|^2$

$9(z-\frac{4}{3}i)(\overline{z}+\frac{4}{3}i) = 4(z-3i)(\overline{z}+3i)$

$9(z\overline{z} + \frac{4}{3}iz - \frac{4}{3}i\overline{z} + \frac{16}{9}) = 4(z\overline{z} + 3iz - 3i\overline{z} + 9)$

$9z\overline{z} + 12iz - 12i\overline{z} + 16 = 4z\overline{z} + 12iz - 12i\overline{z} + 36$

$5z\overline{z} = 20$

$z\overline{z} = 4$

$|z|^2 = 4$

$|z| = 2$

よって、原点を中心とする半径2の円となる。

(2)

(1)より、$|z|=2$を満たすとき、$|\frac{1}{2}z+2i|$ の最大値と最小値を求める。

$|\frac{1}{2}z+2i| = |\frac{1}{2}(z+4i)| = \frac{1}{2}|z-(-4i)|$

これは点 $z$ と点 $-4i$ の距離の $\frac{1}{2}$ 倍を表す。

$|z|=2$ より、$z$ は原点を中心とする半径2の円周上にある。

$z$ と $-4i$ の距離が最大になるのは、原点、$-4i$、$z$ が一直線上にあるときで、距離は $2+4=6$ となる。最小になるのは、原点、$-4i$、$z$ が一直線上にあるときで、距離は $4-2=2$ となる。

したがって、$|\frac{1}{2}z+2i|$ の最大値は $\frac{1}{2} \times 6 = 3$ であり、最小値は $\frac{1}{2} \times 2 = 1$ である。

最大値をとるのは、$z=2(-4i)/|-4i| = 2(-4i)/4 = -2i$ のとき。

最小値をとるのは、$z=-2(-4i)/|-4i| = -2(-4i)/4 = 2i$ のとき。

3. 最終的な答え

(1) 原点を中心とする半径2の円

(2)

最大値：3 ($z = -2i$ のとき)

最小値：1 ($z = 2i$ のとき)