はい、承知いたしました。与えられた問題について、計算問題と分母の有理化の問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。与えられた問題について、計算問題と分母の有理化の問題を解いていきます。

**問題3**

次の式を計算せよ。

(1) $(3\sqrt{5} + 2\sqrt{3})(4\sqrt{5} - \sqrt{3})$

(2) $(\sqrt{5} + 2)^2$

(3) $(3\sqrt{2} - \sqrt{6})^2$

(4) $(2\sqrt{2} + \sqrt{3})(2\sqrt{2} - \sqrt{3})$

**問題24**

次の式の分母を有理化せよ。

(1) $\frac{4}{\sqrt{7}}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

(3) $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{18}}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}}$

**問題3の解答**

(1) $(3\sqrt{5} + 2\sqrt{3})(4\sqrt{5} - \sqrt{3})$

解き方の手順：

分配法則を使って展開します。

$3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = 12 \cdot 5 = 60$

$3\sqrt{5} \cdot (-\sqrt{3}) = -3\sqrt{15}$

$2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{5} = 8\sqrt{15}$

$2\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -2 \cdot 3 = -6$

したがって、

$60 - 3\sqrt{15} + 8\sqrt{15} - 6 = 54 + 5\sqrt{15}$

最終的な答え：

$54 + 5\sqrt{15}$

(2) $(\sqrt{5} + 2)^2$

解き方の手順：

$(\sqrt{5} + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$

最終的な答え：

$9 + 4\sqrt{5}$

(3) $(3\sqrt{2} - \sqrt{6})^2$

解き方の手順：

$(3\sqrt{2} - \sqrt{6})^2 = (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 2 - 6\sqrt{12} + 6 = 18 - 6 \cdot 2\sqrt{3} + 6 = 24 - 12\sqrt{3}$

最終的な答え：

$24 - 12\sqrt{3}$

(4) $(2\sqrt{2} + \sqrt{3})(2\sqrt{2} - \sqrt{3})$

解き方の手順：

和と差の積の公式を利用します。 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

$(2\sqrt{2} + \sqrt{3})(2\sqrt{2} - \sqrt{3}) = (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 3 = 5$

最終的な答え：

$5$

**問題24の解答**

(1) $\frac{4}{\sqrt{7}}$

解き方の手順：

分母と分子に$\sqrt{7}$をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{7}} = \frac{4 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{4\sqrt{7}}{7}$

最終的な答え：

$\frac{4\sqrt{7}}{7}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

解き方の手順：

分母と分子に$\sqrt{5}$をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

最終的な答え：

$\frac{\sqrt{15}}{5}$

(3) $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{18}}$

解き方の手順：

まず、$\sqrt{9} = 3$、$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$と変形します。

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{18}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

分母と分子に$\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

最終的な答え：

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}}$

解き方の手順：

分母の共役な式$\sqrt{10} - \sqrt{7}$を分母と分子にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{7})}{(\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{10} - \sqrt{7})} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{10 - 7} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{3}$

最終的な答え：

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{3}$