与えられた等式 $\frac{2x^2-x-3}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{a}{(x-1)^2} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x-2}$ が、$x$についての恒等式となるように、定数$a, b, c$の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた等式

$\frac{2x^2-x-3}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{a}{(x-1)^2} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x-2}$

が、$x$についての恒等式となるように、定数$a, b, c$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、等式の両辺に$(x-1)^2(x-2)$を掛けて、分母を払います。

$2x^2 - x - 3 = a(x-2) + b(x-1)(x-2) + c(x-1)^2$

$2x^2 - x - 3 = a(x-2) + b(x^2 - 3x + 2) + c(x^2 - 2x + 1)$

$2x^2 - x - 3 = (b+c)x^2 + (a - 3b - 2c)x + (-2a + 2b + c)$

この式が恒等式となるためには、各項の係数が等しくなければなりません。したがって、次の連立方程式が得られます。

$b + c = 2$

$a - 3b - 2c = -1$

$-2a + 2b + c = -3$

まず，$x=1$を元の式に代入してみます。ただし、$(x-1)^2$の項があるので、$x=1$を直接代入することはできません。

$x=2$を代入すると、$2(2)^2 - 2 - 3 = a(2-2) + b(2-1)(2-2) + c(2-1)^2$となり、$8 - 2 - 3 = c$より、$c = 3$

次に、$x=1$を代入します。

$2(1)^2 - 1 - 3 = a(1-2) + b(1-1)(1-2) + c(1-1)^2$より、$2-1-3 = -a$, $-2 = -a$, $a=2$

$b+c=2$に$c=3$を代入すると、$b+3=2$より、$b = -1$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = -1, c = 3$