与えられた等式 $3x^2 - 2x - 1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた等式 $3x^2 - 2x - 1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

恒等式であることから、$x$ にどのような値を代入しても等式が成り立ちます。

まず、右辺を展開して整理します。

$a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + bx + b + c = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$

したがって、

$3x^2 - 2x - 1 = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$

この式が恒等式であるためには、$x^2$, $x$, 定数項の係数がそれぞれ等しくなければなりません。

したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a = 3$

$2a + b = -2$

$a + b + c = -1$

$a = 3$ を $2a+b = -2$ に代入すると、

$2(3) + b = -2$

$6 + b = -2$

$b = -2 - 6$

$b = -8$

$a = 3$ と $b = -8$ を $a+b+c = -1$ に代入すると、

$3 - 8 + c = -1$

$-5 + c = -1$

$c = -1 + 5$

$c = 4$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = -8$

$c = 4$