$n$ が自然数のとき、$(\frac{1+i}{\sqrt{2}})^n - (\frac{1-i}{\sqrt{2}})^n$ の値を求める。

1. 問題の内容

$n$ が自然数のとき、$(\frac{1+i}{\sqrt{2}})^n - (\frac{1-i}{\sqrt{2}})^n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

複素数を極形式で表すことを利用します。

まず、$1+i$ と $1-i$ を極形式で表します。

$1+i = \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}} + i \sin{\frac{\pi}{4}})$

$1-i = \sqrt{2}(\cos{(-\frac{\pi}{4})} + i \sin{(-\frac{\pi}{4})})$

したがって、

$\frac{1+i}{\sqrt{2}} = \cos{\frac{\pi}{4}} + i \sin{\frac{\pi}{4}} = e^{i\frac{\pi}{4}}$

$\frac{1-i}{\sqrt{2}} = \cos{(-\frac{\pi}{4})} + i \sin{(-\frac{\pi}{4})} = e^{-i\frac{\pi}{4}}$

ド・モアブルの定理より、

$(\frac{1+i}{\sqrt{2}})^n = (\cos{\frac{\pi}{4}} + i \sin{\frac{\pi}{4}})^n = \cos{\frac{n\pi}{4}} + i \sin{\frac{n\pi}{4}}$

$(\frac{1-i}{\sqrt{2}})^n = (\cos{(-\frac{\pi}{4})} + i \sin{(-\frac{\pi}{4})})^n = \cos{(-\frac{n\pi}{4})} + i \sin{(-\frac{n\pi}{4})} = \cos{\frac{n\pi}{4}} - i \sin{\frac{n\pi}{4}}$

よって、

$(\frac{1+i}{\sqrt{2}})^n - (\frac{1-i}{\sqrt{2}})^n = (\cos{\frac{n\pi}{4}} + i \sin{\frac{n\pi}{4}}) - (\cos{\frac{n\pi}{4}} - i \sin{\frac{n\pi}{4}})$

$= 2i \sin{\frac{n\pi}{4}}$

3. 最終的な答え

$2i \sin{\frac{n\pi}{4}}$