与えられた等式 $5(x-2)(x+b) = x^2 - ax + 10$ が成り立つとき、$a$と$b$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $5(x-2)(x+b) = x^2 - ax + 10$ が成り立つとき、$a$と$b$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺を展開します。

$5(x-2)(x+b) = 5(x^2 + bx - 2x - 2b) = 5(x^2 + (b-2)x - 2b) = 5x^2 + 5(b-2)x - 10b$

したがって、

$5x^2 + 5(b-2)x - 10b = x^2 - ax + 10$

この等式がすべての $x$ について成り立つためには、両辺の各項の係数が等しくなければなりません。したがって、次の連立方程式が得られます。

$5 = 1$ (x^2の係数)

$5(b-2) = -a$ (xの係数)

$-10b = 10$ (定数項)

最初の式 $5=1$ は矛盾しています。問題文の $5(x-2)(x+b)$ が $1(x-2)(x+b)=(x-2)(x+b)$ であったと仮定して、問題を解き直します。

$(x-2)(x+b) = x^2 - ax + 10$

左辺を展開すると、

$x^2 + bx - 2x - 2b = x^2 + (b-2)x - 2b$

したがって、

$x^2 + (b-2)x - 2b = x^2 - ax + 10$

両辺の各項の係数が等しいことから、次の連立方程式が得られます。

$b-2 = -a$

$-2b = 10$

2番目の式から $b$ の値を求めます。

$-2b = 10$

$b = -5$

$b = -5$ を最初の式に代入して $a$ の値を求めます。

$b-2 = -a$

$-5-2 = -a$

$-7 = -a$

$a = 7$

3. 最終的な答え

$a = 7$

$b = -5$