問題は、実数 $x, y, z$ に関する以下の5つの命題について、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要十分条件である」、「必要条件でも十分条件でもない」のうち、どれが当てはまるかを答えるものです。 (1) $(x-y)(y-z) = 0$ は $x=y=z$ であるための？ (2) $x>0$ かつ $y<0$ は $xy < 0$ であるための？ (3) $x=y=0$ は $xy=0$ かつ $x+y=0$ であるための？ (4) $\angle A < 90^{\circ}$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための？ (5) $\triangle ABC$ の3辺 $BC, CA, AB$ の長さをそれぞれ $a, b, c$ とするとき、$(a-b)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$ は $\triangle ABC$ が直角二等辺三角形であるための？

1. 問題の内容

問題は、実数 $x, y, z$ に関する以下の5つの命題について、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要十分条件である」、「必要条件でも十分条件でもない」のうち、どれが当てはまるかを答えるものです。

(1) $(x-y)(y-z) = 0$ は $x=y=z$ であるための？

(2) $x>0$ かつ $y<0$ は $xy < 0$ であるための？

(3) $x=y=0$ は $xy=0$ かつ $x+y=0$ であるための？

(4) $\angle A < 90^{\circ}$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための？

(5) $\triangle ABC$ の3辺 $BC, CA, AB$ の長さをそれぞれ $a, b, c$ とするとき、$(a-b)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$ は $\triangle ABC$ が直角二等辺三角形であるための？

2. 解き方の手順

(1) $(x-y)(y-z) = 0$ ならば、$x=y$ または $y=z$ が成り立つ。これは、$x=y=z$ の必要条件ではあるが十分条件ではない。なぜなら、$x=y=1, z=2$ のような場合、$x=y=z$ は成り立たないから。

(2) $x>0$ かつ $y<0$ ならば、$xy<0$ は成り立つ。また、$xy<0$ ならば、$x>0$ かつ $y<0$ または $x<0$ かつ $y>0$ が成り立つ。よって、$x>0$ かつ $y<0$ は $xy<0$ の十分条件であるが、必要条件ではない。

(3) $x=y=0$ ならば、$xy=0$ かつ $x+y=0$ は成り立つ。また、$xy=0$ かつ $x+y=0$ ならば、$x=0$ または $y=0$ であり、$x+y=0$ なので、$x=0$ ならば $y=0$、$y=0$ ならば $x=0$。よって、$x=y=0$ は $xy=0$ かつ $x+y=0$ の必要十分条件である。

(4) $\angle A < 90^{\circ}$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための必要条件ではあるが、十分条件ではない。鋭角三角形であるためには、全ての角が90度より小さくなければならない。

(5) $(a-b)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$ ならば、$a=b$ または $a^2 + b^2 = c^2$ である。これは、$a=b$ の場合は $AB=BC$ である二等辺三角形、$a^2+b^2=c^2$ の場合は $a$ と $b$ が直角を挟む直角三角形になります。この条件を満たすためには、$a=b$ かつ $c^2=a^2+b^2=2a^2$ が必要。すなわち、$c=\sqrt{2}a$。したがって、必要条件でも十分条件でもない。

3. 最終的な答え

(1) 必要条件であるが十分条件ではない

(2) 十分条件であるが必要条件ではない

(3) 必要十分条件である

(4) 必要条件であるが十分条件ではない

(5) 必要条件でも十分条件でもない