与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} k(2k-1)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} k(2k-1)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を展開します。

$k(2k-1) = 2k^2 - k$

次に、和の性質を利用して、シグマ記号を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ はそれぞれ、平方数の和と自然数の和の公式で表されます。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらの公式を代入します。

$2\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2}$

整理します。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)[2(2n+1) - 3]}{6} = \frac{n(n+1)(4n+2-3)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$