次の不等式の表す領域を図示せよ。 $(y - x^2 + 1)(y - x - 1) \geq 0$

1. 問題の内容

次の不等式の表す領域を図示せよ。

$(y - x^2 + 1)(y - x - 1) \geq 0$

2. 解き方の手順

与えられた不等式は、2つの因数の積が0以上であることを意味します。したがって、次の2つの場合に分けて考えます。

場合1：両方の因数が0以上である場合

$y - x^2 + 1 \geq 0$ かつ $y - x - 1 \geq 0$

これは、

$y \geq x^2 - 1$ かつ $y \geq x + 1$

を意味します。

場合2：両方の因数が0以下である場合

$y - x^2 + 1 \leq 0$ かつ $y - x - 1 \leq 0$

これは、

$y \leq x^2 - 1$ かつ $y \leq x + 1$

を意味します。

それぞれの不等式を図示します。

$y = x^2 - 1$ は下に凸な放物線で、頂点は(0, -1)です。

$y = x + 1$ は傾き1、y切片1の直線です。

場合1は、放物線 $y = x^2 - 1$ の上側と直線 $y = x + 1$ の上側の共通部分です。

場合2は、放物線 $y = x^2 - 1$ の下側と直線 $y = x + 1$ の下側の共通部分です。

境界線 $y = x^2 - 1$ と $y = x + 1$ も領域に含まれます。

3. 最終的な答え

領域は、

$y \geq x^2 - 1$ かつ $y \geq x + 1$

または

$y \leq x^2 - 1$ かつ $y \leq x + 1$

を満たす(x, y)の集合である。これは、放物線 $y=x^2 - 1$ と直線 $y=x+1$ によって分けられる領域のうち、両方の式が同時に正または同時に負となる領域を表す。境界線を含む。