与えられた命題「$n$は2の倍数でない $\implies$ $n$は6の倍数でない」の対偶となる命題と、その真偽を4つの選択肢から選ぶ問題です。ここで、$n$は自然数です。

1. 問題の内容

与えられた命題「$n$は2の倍数でない $\implies$ $n$は6の倍数でない」の対偶となる命題と、その真偽を4つの選択肢から選ぶ問題です。ここで、$n$は自然数です。

2. 解き方の手順

命題「$P \implies Q$」の対偶は「$\neg Q \implies \neg P$」で表されます。ここで、$\neg P$は$P$の否定を表します。

与えられた命題は「$n$は2の倍数でない $\implies$ $n$は6の倍数でない」なので、$P$は「$n$は2の倍数でない」であり、$Q$は「$n$は6の倍数でない」です。

したがって、$\neg P$は「$n$は2の倍数である」であり、$\neg Q$は「$n$は6の倍数である」となります。

よって、対偶は「$n$は6の倍数である $\implies$ $n$は2の倍数である」となります。

次に、この対偶の真偽を判定します。$n$が6の倍数であるとき、$n$は6で割り切れます。すなわち、$n = 6k$ (kは整数) と表せます。$n = 6k = 2(3k)$より、$n$は2の倍数となります。したがって、「$n$は6の倍数である $\implies$ $n$は2の倍数である」は真です。

選択肢を確認すると、

①「$n$は6の倍数 $\implies$ $n$は2の倍数」これは真

②「$n$は2の倍数 $\implies$ $n$は6の倍数」これは真

③「$n$は6の倍数 $\implies$ $n$は2の倍数」これは偽

④「$n$は2の倍数 $\implies$ $n$は6の倍数」これは偽

対偶は①の「$n$は6の倍数 $\implies$ $n$は2の倍数」であり、真であるため、①が正解となります。

3. 最終的な答え

①