与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) グラフが3点(3, 0), (-1, 0), (2, 6)を通る。 (2) グラフの頂点が放物線 $y=2x^2+4x+1$ の頂点と同じであり、y軸と点(0, 2)で交わる。 (3) x=2で最大値8をとり、x=1でy=5となる。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) グラフが3点(3, 0), (-1, 0), (2, 6)を通る。

(2) グラフの頂点が放物線 $y=2x^2+4x+1$ の頂点と同じであり、y軸と点(0, 2)で交わる。

(3) x=2で最大値8をとり、x=1でy=5となる。

2. 解き方の手順

(1) 3点(3, 0), (-1, 0), (2, 6)を通る2次関数を求める。

3点のうち(3, 0)と(-1, 0)を通るので、2次関数は $y = a(x - 3)(x + 1)$ と表せる。

この関数が(2, 6)を通るので、x=2, y=6を代入する。

$6 = a(2 - 3)(2 + 1)$

$6 = a(-1)(3)$

$6 = -3a$

$a = -2$

よって、2次関数は $y = -2(x - 3)(x + 1)$

$y = -2(x^2 - 2x - 3)$

$y = -2x^2 + 4x + 6$

(2) 放物線 $y = 2x^2 + 4x + 1$ の頂点を求める。

$y = 2(x^2 + 2x) + 1$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = 2((x + 1)^2 - 1) + 1$

$y = 2(x + 1)^2 - 2 + 1$

$y = 2(x + 1)^2 - 1$

頂点は(-1, -1)となる。

頂点が(-1, -1)なので、求める2次関数は $y = a(x + 1)^2 - 1$ と表せる。

y軸と(0, 2)で交わるので、x=0, y=2を代入する。

$2 = a(0 + 1)^2 - 1$

$2 = a - 1$

$a = 3$

よって、2次関数は $y = 3(x + 1)^2 - 1$

$y = 3(x^2 + 2x + 1) - 1$

$y = 3x^2 + 6x + 3 - 1$

$y = 3x^2 + 6x + 2$

(3) x=2で最大値8をとるので、頂点は(2, 8)となる。

よって、2次関数は $y = a(x - 2)^2 + 8$ と表せる。

x=1でy=5なので、x=1, y=5を代入する。

$5 = a(1 - 2)^2 + 8$

$5 = a(-1)^2 + 8$

$5 = a + 8$

$a = -3$

よって、2次関数は $y = -3(x - 2)^2 + 8$

$y = -3(x^2 - 4x + 4) + 8$

$y = -3x^2 + 12x - 12 + 8$

$y = -3x^2 + 12x - 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 4x + 6$

(2) $y = 3x^2 + 6x + 2$

(3) $y = -3x^2 + 12x - 4$