(7) ベクトル $\vec{a} = (2, -3)$, $\vec{b} = (3, 1)$ に対して, ベクトル $\vec{c} = (-1, 4)$ を $\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ の形で表す。 (8) $\vec{OA} = (1, m)$, $\vec{OB} = (m-6, 2m-15)$ とする。3点 O, A, B が一直線上にあるときの $m$ の値を求める。 (9) ベクトル $\vec{p} = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{3})$ と同じ向きの単位ベクトルを求める。

1. 問題の内容

(7) ベクトル $\vec{a} = (2, -3)$, $\vec{b} = (3, 1)$ に対して, ベクトル $\vec{c} = (-1, 4)$ を $\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ の形で表す。

(8) $\vec{OA} = (1, m)$, $\vec{OB} = (m-6, 2m-15)$ とする。3点 O, A, B が一直線上にあるときの $m$ の値を求める。

(9) ベクトル $\vec{p} = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{3})$ と同じ向きの単位ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(7) $\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ より,

$(-1, 4) = s(2, -3) + t(3, 1)$

$(-1, 4) = (2s + 3t, -3s + t)$

よって,

$2s + 3t = -1$

$-3s + t = 4$

この連立方程式を解く。

$-3s + t = 4$ より, $t = 3s + 4$

$2s + 3(3s + 4) = -1$

$2s + 9s + 12 = -1$

$11s = -13$

$s = -\frac{13}{11}$

$t = 3s + 4 = 3(-\frac{13}{11}) + 4 = -\frac{39}{11} + \frac{44}{11} = \frac{5}{11}$

したがって, $\vec{c} = -\frac{13}{11}\vec{a} + \frac{5}{11}\vec{b}$

(8) 3点 O, A, B が一直線上にあるとき, $\vec{OB} = k\vec{OA}$ となる実数 $k$ が存在する。

$(m-6, 2m-15) = k(1, m)$

$(m-6, 2m-15) = (k, km)$

よって,

$m - 6 = k$

$2m - 15 = km$

$2m - 15 = (m-6)m$

$2m - 15 = m^2 - 6m$

$m^2 - 8m + 15 = 0$

$(m - 3)(m - 5) = 0$

$m = 3, 5$

(9) $\vec{p} = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{3})$ の単位ベクトルを求める。

まず, $\vec{p}$ の大きさを求める。

$|\vec{p}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9 + 4}{36}} = \sqrt{\frac{13}{36}} = \frac{\sqrt{13}}{6}$

$\vec{p}$ と同じ向きの単位ベクトルは,

$\frac{\vec{p}}{|\vec{p}|} = \frac{(\frac{1}{2}, -\frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{13}}{6}} = (\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}}, -\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}}) = (\frac{3}{\sqrt{13}}, -\frac{2}{\sqrt{13}}) = (\frac{3\sqrt{13}}{13}, -\frac{2\sqrt{13}}{13})$

3. 最終的な答え

(7) $\vec{c} = -\frac{13}{11}\vec{a} + \frac{5}{11}\vec{b}$

(8) $m = 3, 5$

(9) $(\frac{3\sqrt{13}}{13}, -\frac{2\sqrt{13}}{13})$