正六角形ABCDEFにおいて、ベクトル$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, ベクトル$\overrightarrow{AF} = \vec{b}$とするとき、ベクトル$\overrightarrow{DB}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、ベクトル$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, ベクトル$\overrightarrow{AF} = \vec{b}$とするとき、ベクトル$\overrightarrow{DB}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

正六角形の性質を利用して、ベクトル$\overrightarrow{DB}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表します。

$\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{DA} = - \overrightarrow{AD}$ であり、$\overrightarrow{AD}$ は $\overrightarrow{AF}$ と $\overrightarrow{AB}$ の和で表すことができます。具体的には、

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{ED}$ですが、正六角形の性質より$\overrightarrow{FE} = \overrightarrow{AB}$かつ$\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{BA} = - \overrightarrow{AB}$なので、

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AB}$が成り立ちます。

$\overrightarrow{AD} = \vec{b} + \vec{a}$

したがって、

$\overrightarrow{DA} = - (\vec{a} + \vec{b})$

$\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = - (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{a} = - \vec{a} - \vec{b} + \vec{a} = - \vec{b}$

$\overrightarrow{DB}$は$\overrightarrow{AF}$と平行で大きさも同じなので、

$\overrightarrow{DB} = -2\vec{AF} = -2\vec{b}$

正六角形なので、$AB$に平行な辺は$DE$、$CD$に平行な辺は$AF$、$BC$に平行な辺は$EF$となります。

$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}$

$\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AB}=-\vec{a}$

$\overrightarrow{EA}=2\overrightarrow{FA}=-2\vec{b}$

したがって、

$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=-\vec{a}-2\vec{b}$

$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=-\vec{a}-2\vec{b}+\vec{a}=-2\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{DB} = -2\vec{b}$