(1) 関数 $f(x) = \log(\sin x)$ のグラフ $y = f(x)$ 上の点 $(\frac{3\pi}{4}, f(\frac{3\pi}{4}))$ における接線の方程式を求めよ。 (2) $xy$ 平面において、原点から曲線 $y = x + e^x$ に接線を引くとき、接点の座標を求めよ。 (3) 媒介変数 $t$ ($t > 0$) を用いて $x = t + e^t$, $y = 2 + \log t$ と表された曲線の $t = 1$ に対応する点における接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \log(\sin x)$ のグラフ $y = f(x)$ 上の点 $(\frac{3\pi}{4}, f(\frac{3\pi}{4}))$ における接線の方程式を求めよ。

(2) $xy$ 平面において、原点から曲線 $y = x + e^x$ に接線を引くとき、接点の座標を求めよ。

(3) 媒介変数 $t$ ($t > 0$) を用いて $x = t + e^t$, $y = 2 + \log t$ と表された曲線の $t = 1$ に対応する点における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x) = \log(\sin x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

$x = \frac{3\pi}{4}$ における $f'(x)$ の値を求める。

$f'(\frac{3\pi}{4}) = \cot(\frac{3\pi}{4}) = -1$

次に、$f(\frac{3\pi}{4})$ を求める。

$f(\frac{3\pi}{4}) = \log(\sin(\frac{3\pi}{4})) = \log(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \log(2^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}\log 2$

接線の方程式は、$y - f(\frac{3\pi}{4}) = f'(\frac{3\pi}{4})(x - \frac{3\pi}{4})$ であるから、

$y - (-\frac{1}{2}\log 2) = -1(x - \frac{3\pi}{4})$

$y = -x + \frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}\log 2$

(2)

接点の座標を $(t, t+e^t)$ とおく。

$y = x + e^x$ を微分すると $\frac{dy}{dx} = 1 + e^x$

接線の方程式は $y - (t+e^t) = (1+e^t)(x-t)$

この接線が原点を通るので、 $0 - (t+e^t) = (1+e^t)(0-t)$

$-t - e^t = -t - te^t$

$e^t = te^t$

$1 = t$

よって、接点の座標は $(1, 1+e^1) = (1, 1+e)$

(3)

$\frac{dx}{dt} = 1 + e^t$

$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{t}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{1}{t}}{1 + e^t} = \frac{1}{t(1+e^t)}$

$t = 1$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1(1+e^1)} = \frac{1}{1+e}$

$t = 1$ のとき、$x = 1 + e^1 = 1 + e$

$t = 1$ のとき、$y = 2 + \log 1 = 2$

接線の方程式は、$y - 2 = \frac{1}{1+e}(x - (1+e))$

$y = \frac{1}{1+e}x - \frac{1+e}{1+e} + 2$

$y = \frac{1}{1+e}x - 1 + 2$

$y = \frac{1}{1+e}x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}\log 2$

(2) $(1, 1+e)$

(3) $y = \frac{1}{1+e}x + 1$