不等式 $9^x - 3^{x+1} - 54 \leqq 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $9^x - 3^{x+1} - 54 \leqq 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$3^x = t$ と置換します。すると、$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = t^2$ となり、$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3t$ となります。

したがって、与えられた不等式は

$t^2 - 3t - 54 \leqq 0$

と書き換えられます。

この2次不等式を解くために、まず左辺を因数分解します。

$t^2 - 3t - 54 = (t - 9)(t + 6) \leqq 0$

この不等式を満たす $t$ の範囲は $-6 \leqq t \leqq 9$ となります。

ここで、$t = 3^x$ であったことを思い出すと、$3^x = t > 0$ であるため、$t$ は正である必要があります。したがって、$-6 \leqq t \leqq 9$ の範囲は $0 < t \leqq 9$ になります。

つまり、$0 < 3^x \leqq 9$ です。$3^x > 0$ は常に成り立つので、$3^x \leqq 9$ だけを考えれば良いです。

$3^x \leqq 9$ は $3^x \leqq 3^2$ と書き換えられます。

底が 3 で 1 より大きいので、$x \leqq 2$ となります。

3. 最終的な答え

$x \leqq 2$