三角形ABCにおいて、辺ABの中点をM、辺ACを2:1に内分する点をNとする。線分BNとCMの交点をPとする。問題文は途中で隠れていて読めませんが、おそらく「APを求めよ」または「APを表現せよ」という問題でしょう。メネラウスの定理を用いて解くことが指示されています。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABの中点をM、辺ACを2:1に内分する点をNとする。線分BNとCMの交点をPとする。問題文は途中で隠れていて読めませんが、おそらく「APを求めよ」または「APを表現せよ」という問題でしょう。メネラウスの定理を用いて解くことが指示されています。

2. 解き方の手順

問題文が一部隠れているため、ここではAPをベクトルで表現する問題を解くことにします。

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$とします。

点Mは辺ABの中点なので、$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{b}$。

点Nは辺ACを2:1に内分するので、$\vec{AN} = \frac{2}{3}\vec{c}$。

まず、直線CMに関して点Aにメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BP}{PN} \cdot \frac{NC}{CA} = 1$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{BP}{PN} \cdot \frac{1/3}{1} = 1$

$\frac{BP}{PN} = 3$

したがって、$\vec{AP} = \frac{\vec{AB} + 3\vec{AN}}{4} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AN} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}\vec{c} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

次に、直線BNに関して点Aにメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AN}{NC} \cdot \frac{CP}{PM} \cdot \frac{MB}{BA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{CP}{PM} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{CP}{PM} = 1$

したがって、$\vec{AP} = \frac{\vec{AC} + \vec{AM}}{2} = \frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

どちらの直線に対してメネラウスの定理を適用しても同じ結果が得られました。

3. 最終的な答え

$\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

つまり、$\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$