xについての3つの不等式 $ -1 < 2x-3 \le 7 $ ...(1) $ \frac{2x-a+5}{3} \le a + \frac{5}{3} $ ...(2) $ \frac{5x+6}{3} > \frac{3x+a}{2} + 2 $ ...(3) がある。ただし、$a$は定数とする。 (1) 不等式(1), (2)を解け。 (2) 不等式(1), (3)を満たす$x$が存在しないとき、$a$のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) 不等式(1), (2)をともに満たす整数$x$の個数を$m$, 不等式(1), (3)をともに満たす整数$x$の個数を$n$とする。$m=1$のとき、$a$のとりうる値の範囲を求めよ。また、$m=n=1$のとき、$a$のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

xについての3つの不等式

$-1 < 2x-3 \le 7$ ...(1)

$\frac{2x-a+5}{3} \le a + \frac{5}{3}$ ...(2)

$\frac{5x+6}{3} > \frac{3x+a}{2} + 2$ ...(3)

がある。ただし、$a$は定数とする。

(1) 不等式(1), (2)を解け。

(2) 不等式(1), (3)を満たす$x$が存在しないとき、$a$のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) 不等式(1), (2)をともに満たす整数$x$の個数を$m$, 不等式(1), (3)をともに満たす整数$x$の個数を$n$とする。$m=1$のとき、$a$のとりうる値の範囲を求めよ。また、$m=n=1$のとき、$a$のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

不等式(1)を解く。

$-1 < 2x-3 \le 7$

各辺に3を加えると、

$2 < 2x \le 10$

各辺を2で割ると、

$1 < x \le 5$

不等式(2)を解く。

$\frac{2x-a+5}{3} \le a + \frac{5}{3}$

両辺に3を掛けると、

$2x - a + 5 \le 3a + 5$

$2x \le 4a$

$x \le 2a$

(2)

不等式(3)を解く。

$\frac{5x+6}{3} > \frac{3x+a}{2} + 2$

両辺に6を掛けると、

$2(5x+6) > 3(3x+a) + 12$

$10x + 12 > 9x + 3a + 12$

$10x - 9x > 3a + 12 - 12$

$x > 3a$

不等式(1)と(3)を満たす$x$が存在しないということは、

$x \le 1$または$x > 5$と、$x > 3a$を同時に満たす$x$が存在しないということである。

言い換えると、$1 < x \le 5$と$x > 3a$を同時に満たす$x$が存在しない。

これは、$3a \ge 5$のときである。したがって、

$a \ge \frac{5}{3}$

(3)

(1)より、不等式(1)の解は $1 < x \le 5$である。

また、不等式(2)の解は $x \le 2a$である。

(1)と(2)をともに満たす整数$x$の個数が$m$である。

$1 < x \le 5$を満たす整数は、2, 3, 4, 5 の4個である。

$m=1$となるのは、$1 < x \le 5$を満たす整数が、 $x \le 2a$を満たす整数が1つのみである場合である。

$x=2$のみが条件を満たすとき、$1 < 2a < 3$より、$\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$

$x \le 2a$より、$x = 2a$なので、$2 \le 2a$となる。

$2 \le 2a < 3$を満たすとき、$1 \le a < \frac{3}{2}$

次に、不等式(1)と(3)をともに満たす整数$x$の個数が$n$である。

(1)より、不等式(1)の解は $1 < x \le 5$である。

また、(2)より不等式(3)の解は $x > 3a$である。

$n=1$となるのは、$1 < x \le 5$を満たす整数が、 $x > 3a$を満たす整数が1つのみである場合である。

$x=5$のみが条件を満たすとき、$4 \le 3a < 5$より、$\frac{4}{3} \le a < \frac{5}{3}$

$m=n=1$のとき、

$1 \le a < \frac{3}{2}$ かつ $\frac{4}{3} \le a < \frac{5}{3}$より、

$\frac{4}{3} \le a < \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $1 < x \le 5$, $x \le 2a$

(2) $a \ge \frac{5}{3}$

(3) $m=1$のとき、$1 \le a < \frac{3}{2}$,

$m=n=1$のとき、$\frac{4}{3} \le a < \frac{3}{2}$