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与えられた式 $\frac{\sqrt{h}}{\sqrt{a+2}} - \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{a-2}}$ を計算し、簡略化します。

代数学式の簡略化分数根号有理化
2025/6/11

1. 問題の内容

与えられた式 ha+2−ha−2\frac{\sqrt{h}}{\sqrt{a+2}} - \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{a-2}} を計算し、簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、2つの分数を共通の分母でまとめます。共通の分母は a+2a−2\sqrt{a+2}\sqrt{a-2} です。
ha+2−ha−2=ha−2−ha+2a+2a−2\frac{\sqrt{h}}{\sqrt{a+2}} - \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{a-2}} = \frac{\sqrt{h}\sqrt{a-2} - \sqrt{h}\sqrt{a+2}}{\sqrt{a+2}\sqrt{a-2}}
分子から h\sqrt{h} をくくり出すと、
h(a−2−a+2)a+2a−2=h(a−2−a+2)(a+2)(a−2)=h(a−2−a+2)a2−4\frac{\sqrt{h}(\sqrt{a-2} - \sqrt{a+2})}{\sqrt{a+2}\sqrt{a-2}} = \frac{\sqrt{h}(\sqrt{a-2} - \sqrt{a+2})}{\sqrt{(a+2)(a-2)}} = \frac{\sqrt{h}(\sqrt{a-2} - \sqrt{a+2})}{\sqrt{a^2 - 4}}
次に、分子の有理化を行います。分子の a−2−a+2\sqrt{a-2} - \sqrt{a+2} に a−2+a+2\sqrt{a-2} + \sqrt{a+2} を掛け、分母にも同じものを掛けます。
h(a−2−a+2)a2−4×a−2+a+2a−2+a+2=h((a−2)−(a+2))a2−4(a−2+a+2)\frac{\sqrt{h}(\sqrt{a-2} - \sqrt{a+2})}{\sqrt{a^2 - 4}} \times \frac{\sqrt{a-2} + \sqrt{a+2}}{\sqrt{a-2} + \sqrt{a+2}} = \frac{\sqrt{h}((a-2) - (a+2))}{\sqrt{a^2 - 4}(\sqrt{a-2} + \sqrt{a+2})}
分子を簡略化すると、
h(a−2−a−2)a2−4(a−2+a+2)=h(−4)a2−4(a−2+a+2)=−4ha2−4(a−2+a+2)\frac{\sqrt{h}(a-2-a-2)}{\sqrt{a^2 - 4}(\sqrt{a-2} + \sqrt{a+2})} = \frac{\sqrt{h}(-4)}{\sqrt{a^2 - 4}(\sqrt{a-2} + \sqrt{a+2})} = \frac{-4\sqrt{h}}{\sqrt{a^2 - 4}(\sqrt{a-2} + \sqrt{a+2})}

3. 最終的な答え

−4ha2−4(a−2+a+2)\frac{-4\sqrt{h}}{\sqrt{a^2 - 4}(\sqrt{a-2} + \sqrt{a+2})}

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