与えられた等式を証明する問題です。 (3) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ (4) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき $\frac{a+c}{b+d} = \frac{3a-5c}{3b-5d}$ (5) $a+b+c=0$ のとき $a(a+b)(c+a)^2 + b(b+c)(a+b)^2 + c(c+a)(b+c)^2 = 0$

1. 問題の内容

与えられた等式を証明する問題です。

(3) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$

(4) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき $\frac{a+c}{b+d} = \frac{3a-5c}{3b-5d}$

(5) $a+b+c=0$ のとき $a(a+b)(c+a)^2 + b(b+c)(a+b)^2 + c(c+a)(b+c)^2 = 0$

2. 解き方の手順

(3)

右辺を展開し、左辺と一致することを示します。

$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (ac)^2 + 2acbd + (bd)^2 + (ad)^2 - 2adbc + (bc)^2 = (ac)^2 + (bd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 = a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2) = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$

(4)

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ とおくと、$a=bk, c=dk$と表せます。

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d} = \frac{k(b+d)}{b+d} = k$

$\frac{3a-5c}{3b-5d} = \frac{3bk-5dk}{3b-5d} = \frac{k(3b-5d)}{3b-5d} = k$

よって $\frac{a+c}{b+d} = \frac{3a-5c}{3b-5d}$ が成り立ちます。

(5)

$a+b+c=0$ より $c = -a-b$ となります。これを式に代入します。

$a(a+b)(c+a)^2 + b(b+c)(a+b)^2 + c(c+a)(b+c)^2 = a(a+b)(-a-b+a)^2 + b(b-a-b)(a+b)^2 + (-a-b)(-a-b+a)(b-a-b)^2 = a(a+b)(-b)^2 + b(-a)(a+b)^2 + (-a-b)(-b)(-a)^2 = a(a+b)b^2 - ab(a+b)^2 + (a+b)b a^2 = ab^2(a+b) - ab(a^2 + 2ab + b^2) + a^2b(a+b) = a^2b^2 + ab^3 - a^3b - 2a^2b^2 - ab^3 + a^3b + a^2b^2 = 0$

3. 最終的な答え

(3) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ が成り立つ。

(4) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき $\frac{a+c}{b+d} = \frac{3a-5c}{3b-5d}$ が成り立つ。

(5) $a+b+c=0$ のとき $a(a+b)(c+a)^2 + b(b+c)(a+b)^2 + c(c+a)(b+c)^2 = 0$ が成り立つ。