次の等比数列の和 $S$ を求めます。 (1) 初項 $3$, 公比 $-2$, 項数 $5$ (2) 初項 $5$, 公比 $1$, 項数 $8$

1. 問題の内容

次の等比数列の和 $S$ を求めます。

(1) 初項 $3$, 公比 $-2$, 項数 $5$

(2) 初項 $5$, 公比 $1$, 項数 $8$

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の和の公式を使います。初項 $a$, 公比 $r$, 項数 $n$ のとき、和 $S$ は

$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

で求められます。

この問題では、$a = 3$, $r = -2$, $n = 5$ なので、

$S = \frac{3(1-(-2)^5)}{1-(-2)} = \frac{3(1-(-32))}{3} = \frac{3(1+32)}{3} = \frac{3(33)}{3} = 33$

(2) 公比が $1$ の場合、全ての項が初項と等しくなります。したがって、初項 $a$ で項数 $n$ の等比数列の和は $S = na$ で求められます。

この問題では、$a = 5$, $n = 8$ なので、

$S = 8 \times 5 = 40$

3. 最終的な答え

(1) $33$

(2) $40$