$f(x) = 1 - x^2$ ($x \ge 0$)とする。 (1) $\int_{0}^{1} f(f(x)) dx$ を計算する。 (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x dx$ を計算する。 (3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sqrt{x}) \sin x dx$ を計算し、選択肢から適切なものを選ぶ。 (4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f^{-1}(\sin^2 x) \cos x dx$ を計算し、選択肢から適切なものを選ぶ。

1. 問題の内容

$f(x) = 1 - x^2$ ($x \ge 0$)とする。

(1) $\int_{0}^{1} f(f(x)) dx$ を計算する。

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x dx$ を計算する。

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sqrt{x}) \sin x dx$ を計算し、選択肢から適切なものを選ぶ。

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f^{-1}(\sin^2 x) \cos x dx$ を計算し、選択肢から適切なものを選ぶ。

2. 解き方の手順

(1)

$f(f(x)) = 1 - (1 - x^2)^2 = 1 - (1 - 2x^2 + x^4) = 2x^2 - x^4$.

$\int_{0}^{1} f(f(x)) dx = \int_{0}^{1} (2x^2 - x^4) dx = [\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{10 - 3}{15} = \frac{7}{15}$.

(2)

$f(\sin x) = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \cos x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx$.

$\cos^3 x = \cos x (1 - \sin^2 x)$.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x (1 - \sin^2 x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x dx$.

$= [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - [\frac{1}{3}\sin^3 x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(3)

$f(\sqrt{x}) = 1 - (\sqrt{x})^2 = 1 - x$.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sqrt{x}) \sin x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - x) \sin x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx = [-x \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 0 + [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1$.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - x) \sin x dx = 1 - 1 = 0$.

(4)

$f(x) = 1 - x^2$ より $y = 1 - x^2$ とすると、$x^2 = 1 - y$. $x = \sqrt{1 - y}$ ($x \ge 0$より)。

したがって、$f^{-1}(x) = \sqrt{1 - x}$.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f^{-1}(\sin^2 x) \cos x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \sin^2 x} \cos x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos^2 x} \cos x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cos x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx$.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = [\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{4}(0) - 0 = \frac{\pi}{4}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{15}$

(2) $\frac{2}{3}$

(3) 0 (選択肢 2)

(4) $\frac{\pi}{4}$ (選択肢 7と4)