## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた3つの数式をそれぞれ計算する問題です。

1) $\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{12}} - \frac{1}{\sqrt{27}}$

2) $\frac{1}{3 - \sqrt{5}} + \frac{1}{3 + \sqrt{5}}$

3) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

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2. 解き方の手順

**1) $\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{12}} - \frac{1}{\sqrt{27}}$**

* $\sqrt{12}$ と $\sqrt{27}$ を簡単にする。

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

* 式を書き換える。

$\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}}$

* 通分する。

通分すると分母は $6\sqrt{3}$ になる。

$\frac{6}{6\sqrt{3}} - \frac{3}{6\sqrt{3}} - \frac{2}{6\sqrt{3}}$

* 計算する。

$\frac{6-3-2}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{6\sqrt{3}}$

* 分母を有理化する。

$\frac{1}{6\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{18}$

**2) $\frac{1}{3 - \sqrt{5}} + \frac{1}{3 + \sqrt{5}}$**

* 通分する。

$\frac{3 + \sqrt{5}}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} + \frac{3 - \sqrt{5}}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}$

* 分母を展開する。 $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ を利用する。

$(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$

* 式を書き換える。

$\frac{3 + \sqrt{5}}{4} + \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

* 計算する。

$\frac{3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5}}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

**3) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$**

* それぞれの分数を有理化する。

1つ目の分数の分母の共役な複素数は $\sqrt{3} - \sqrt{2}$。

2つ目の分数の分母の共役な複素数は $\sqrt{3} + \sqrt{2}$。

* 分母を有理化する。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} - \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$

* 分母を計算する。

$(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$

* 分子を展開する。

$\frac{3 - \sqrt{6}}{1} - \frac{\sqrt{6} + 2}{1}$

* 計算する。

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} - 2 = 1 - 2\sqrt{6}$

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3. 最終的な答え

1) $\frac{\sqrt{3}}{18}$

2) $\frac{3}{2}$

3) $1 - 2\sqrt{6}$