数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項はそれぞれ $a_n = 2^n$, $b_n = 3n+2$ である。数列 $\{a_n\}$ の項のうち、数列 $\{b_n\}$ の項でもあるものを小さい順に並べて得られる数列を $\{c_n\}$ とする。 (1) 数列 $\{c_n\}$ の初項から第5項までを求めよ。 (2) 数列 $\{c_n\}$ が等比数列であることを示せ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項はそれぞれ $a_n = 2^n$, $b_n = 3n+2$ である。数列 $\{a_n\}$ の項のうち、数列 $\{b_n\}$ の項でもあるものを小さい順に並べて得られる数列を $\{c_n\}$ とする。

(1) 数列 $\{c_n\}$ の初項から第5項までを求めよ。

(2) 数列 $\{c_n\}$ が等比数列であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ のいくつかの項を計算し、$a_n = b_m$ となるものを探す。

$a_n = 2^n$ より、$a_1 = 2, a_2 = 4, a_3 = 8, a_4 = 16, a_5 = 32, a_6 = 64, a_7 = 128, a_8 = 256, a_9 = 512, a_{10} = 1024$。

$b_n = 3n+2$ より、$b_1 = 5, b_2 = 8, b_3 = 11, b_4 = 14, b_5 = 17, b_6 = 20, b_7 = 23, b_8 = 26, b_9 = 29, b_{10} = 32, b_{11} = 35, b_{12} = 38, b_{13} = 41, b_{14} = 44, b_{15} = 47, b_{16} = 50, b_{17} = 53, b_{18} = 56, b_{19} = 59, b_{20} = 62, b_{21} = 65, b_{22} = 68, b_{23} = 71, b_{24} = 74, b_{25} = 77, b_{26} = 80, b_{27} = 83, b_{28} = 86, b_{29} = 89, b_{30} = 92, b_{31} = 95, b_{32} = 98, b_{33} = 101, b_{34} = 104, b_{35} = 107, b_{36} = 110$

$\{c_n\}$ は $\{a_n\}$ の項のうち、$\{b_n\}$ の項でもあるものを小さい順に並べた数列であるから、$a_n = b_m$ となる $a_n$ を探す。

$a_3 = 8 = b_2$, $a_5 = 32 = b_{10}$, $a_7 = 128$ となる $b_n$ は存在しない。$a_9 = 512$も存在しない。

ここで、$2^n = 3m+2$ を満たす整数 $n,m$ を探す。

$n=3$ のとき $2^3 = 8 = 3(2)+2$

$n=5$ のとき $2^5 = 32 = 3(10)+2$

$n=7$ のとき $2^7 = 128$ で，$128-2 = 126$ は 3 の倍数なので、$128 = 3(42)+2$

$n=9$ のとき $2^9 = 512$ で，$512-2 = 510$ は 3 の倍数なので、$512 = 3(170)+2$

$n=11$ のとき $2^{11} = 2048$ で，$2048-2 = 2046$ は 3 の倍数なので、$2048 = 3(682)+2$

よって、$c_1 = 8, c_2 = 32, c_3 = 128, c_4 = 512, c_5 = 2048$。

(2) 数列 $\{c_n\}$ が等比数列であることを示す。

$c_1 = 8 = 2^3$, $c_2 = 32 = 2^5$, $c_3 = 128 = 2^7$, $c_4 = 512 = 2^9$, $c_5 = 2048 = 2^{11}$

$c_n = 2^{2n+1}$ と推測できる。

$c_{n+1} = 2^{2(n+1)+1} = 2^{2n+3} = 2^2 \cdot 2^{2n+1} = 4 \cdot 2^{2n+1} = 4c_n$

よって、数列 $\{c_n\}$ は公比 4 の等比数列である。

3. 最終的な答え

(1) $\{c_n\}$ の初項から第5項までは $8, 32, 128, 512, 2048$。

(2) $\{c_n\}$ は等比数列である。