## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

与えられた関数について、次数 $n=4$ までの有限マクローリン展開を求める問題です。具体的には以下の4つの関数について考えます。

(1) $f(x) = \sin x$

(2) $f(x) = \sqrt{1+x}$

(3) $f(x) = x \sin x$

(4) $f(x) = \frac{x}{1+x}$

##

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでべき級数として表現する方法です。次数 $n$ までのマクローリン展開は次のように定義されます。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

各関数について、4次までの導関数を計算し、$x=0$ での値を求め、上記の式に代入します。

**(1) $f(x) = \sin x$**

* $f(x) = \sin x$, $f(0) = 0$

* $f'(x) = \cos x$, $f'(0) = 1$

* $f''(x) = -\sin x$, $f''(0) = 0$

* $f'''(x) = -\cos x$, $f'''(0) = -1$

* $f^{(4)}(x) = \sin x$, $f^{(4)}(0) = 0$

したがって、

$\sin x \approx x - \frac{x^3}{3!}= x - \frac{x^3}{6}$

**(2) $f(x) = \sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2}$**

* $f(x) = (1+x)^{1/2}$, $f(0) = 1$

* $f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}$, $f'(0) = \frac{1}{2}$

* $f''(x) = -\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2}$, $f''(0) = -\frac{1}{4}$

* $f'''(x) = \frac{3}{8}(1+x)^{-5/2}$, $f'''(0) = \frac{3}{8}$

* $f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}(1+x)^{-7/2}$, $f^{(4)}(0) = -\frac{15}{16}$

したがって、

$\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4 \cdot 2}x^2 + \frac{3}{8 \cdot 6}x^3 - \frac{15}{16 \cdot 24}x^4 = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \frac{5x^4}{128}$

**(3) $f(x) = x \sin x$**

$\sin x$ のマクローリン展開の結果を利用すると、

$x \sin x \approx x(x - \frac{x^3}{6}) = x^2 - \frac{x^4}{6}$

**(4) $f(x) = \frac{x}{1+x}$**

$f(x) = \frac{x}{1+x} = \frac{1+x-1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x} = 1 - (1+x)^{-1}$

* $f(x) = x(1+x)^{-1}$, $f(0) = 0$

* $f'(x) = (1+x)^{-1} - x(1+x)^{-2}$, $f'(0) = 1$

* $f''(x) = - (1+x)^{-2} - (1+x)^{-2} + 2x(1+x)^{-3} = -2(1+x)^{-2} + 2x(1+x)^{-3}$, $f''(0) = -2$

* $f'''(x) = 4(1+x)^{-3} + 2(1+x)^{-3} - 6x(1+x)^{-4} = 6(1+x)^{-3} - 6x(1+x)^{-4}$, $f'''(0) = 6$

* $f^{(4)}(x) = -18(1+x)^{-4} - 6(1+x)^{-4} + 24x(1+x)^{-5} = -24(1+x)^{-4} + 24x(1+x)^{-5}$, $f^{(4)}(0) = -24$

したがって、

$\frac{x}{1+x} \approx x - \frac{2x^2}{2} + \frac{6x^3}{6} - \frac{24x^4}{24} = x - x^2 + x^3 - x^4$

##

3. 最終的な答え

(1) $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$

(2) $\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \frac{5x^4}{128}$

(3) $x \sin x \approx x^2 - \frac{x^4}{6}$

(4) $\frac{x}{1+x} \approx x - x^2 + x^3 - x^4$