3次式 $x^3 + 4x^2 - 15x - 18$ を因数分解する。

1. 問題の内容

3次式 $x^3 + 4x^2 - 15x - 18$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) 因数定理を利用する。

$P(x) = x^3 + 4x^2 - 15x - 18$ とおく。

$P(x) = 0$ となる $x$ の値をいくつか試す。定数項が-18なので、その約数である $±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18$ を試す。

$P(1) = 1 + 4 - 15 - 18 = -28 \neq 0$

$P(-1) = -1 + 4 + 15 - 18 = 0$

よって、$x = -1$ は $P(x) = 0$ の解なので、$P(x)$ は $(x + 1)$ を因数に持つ。

(2) $P(x)$ を $(x + 1)$ で割る。

筆算または組み立て除法を行う。組み立て除法を行うと以下のようになる。

-1 | 1 4 -15 -18

| -1 -3 18

|----------------

1 3 -18 0

したがって、

$x^3 + 4x^2 - 15x - 18 = (x + 1)(x^2 + 3x - 18)$

(3) $x^2 + 3x - 18$ を因数分解する。

$x^2 + 3x - 18 = (x + 6)(x - 3)$

(4) 以上の結果をまとめると、

$x^3 + 4x^2 - 15x - 18 = (x + 1)(x + 6)(x - 3)$

3. 最終的な答え

$(x + 1)(x + 6)(x - 3)$