与えられた行列 $B$ の逆行列を求める問題です。行列 $B$ は以下で与えられます。 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $B$ の逆行列を求める問題です。行列 $B$ は以下で与えられます。

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、行列 $B$ に単位行列を並べた拡大行列を作り、行基本変形を行って左側が単位行列になるように変形します。その際、右側に現れる行列が逆行列となります。

まず、拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、行基本変形を行います。

(1) 2行目から1行目の2倍を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & | & -2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) 3行目から1行目を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - R_1$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 2行目に -1 を掛けます ($R_2 \rightarrow -R_2$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & | & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(4) 3行目に2行目を加えます ($R_3 \rightarrow R_3 + R_2$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & | & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

(5) 1行目から3行目を引きます ($R_1 \rightarrow R_1 - R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & | & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

(6) 2行目から3行目の3倍を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - 3R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

これで左側が単位行列になったので、右側の行列が逆行列です。

3. 最終的な答え

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$